TI杯数学重要知识点解析:空间异面直线

编辑:sx_liax

2016-09-27

TI杯数学重要知识点解析介绍了空间异面直线。空间是与时间相对的一种物质客观存在形式,但两者密不可分,按照宇宙大爆炸理论,宇宙从奇点爆炸之后……

TI杯数学重要知识点解析:空间异面直线

1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面。 相交直线共面有反且有一个公共点;平行直线共面没有公共点;异面直线不同在任一平面内[注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线。()(可能两条直线平行,也可能是点和直线等)②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交③若直线a、b异面,a平行于平面,b与的关系是相交、平行、在平面内。④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点。⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线。()(射影不一定只有直线,也可以是其他图形)⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等。()(并非是从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段)⑦是夹在两平行平面间的线段,若,则的位置关系为相交或平行或异面。

2. 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线。(不在任何一个平面内的两条直线)

3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等(如下图).(二面角的取值范围)(直线与直线所成角)(斜线与平面成角)(直线与平面所成角)(向量与向量所成角推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角(或直角)相等。

5. 两异面直线的距离:公垂线的长度。空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直。是异面直线,则过外一点P,过点P且与都平行平面有一个或没有,但与距离相等的点在同一平面内。 (或在这个做出的平面内不能叫与平行的平面)

二、立体几何学习中的图形观知识点总结

一、作图

作图是立体几何学习中的基本功,对培养空间概念也有积极的意义,而且在作图时还要用到许多空间线面的关系。所以作图是解决立体几何问题的第一步,作好图有利于问题的解决。

例1 已知正方体

中,点P、E、F分别是棱AB、BC、

的中点(如图1).作出过点P、E、F三点的正方体的截面。

分析:作图是学生学习中的一个弱点,作多面体的截面又是作图中的难点。学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的截面。其实,作截面就是找两个平面的交线,找交线只要找到交线上的两点即可。观察所给的条件(如图2),发现PE就是一条交线。又因为平面ABCD//平面

,由面面平行的性质可得,截面和面

的交线一定和PE平行。而F是

的中点,故取

的中点Q,则FQ也是一条交线。再延长FQ和

的延长线交于一点M,由公理3,点M在平面

和平面

的交线上,连PM交

于点K,则QK和KP又是两条交线。同理可以找到FR和RE两条交线(如图2).因此,六边形PERFQK就是所求的截面。

二、读图

图形中往往包含着深刻的意义,对图形理解的程度影响着我们的正确解题,所以读懂图形是解决问题的重要一环。

例2 如图3,在棱长为a的正方体

中,EF是棱AB上的一条线段,且EF=b

上的定点,P在

上滑动,则四面体PQEF的体积( ).

(A)是变量且有最大值(B)是变量且有最小值(C)是变量无最大最小值(D)是常量

分析:此题的解决需要我们仔细分析图形的特点。这个图形有很多不确定因素,线段EF的位置不定,点P在滑动,但在这一系列的变化中是否可以发现其中的稳定因素?求四面体的体积要具备哪些条件?

仔细观察图形,应该以哪个面为底面?观察

,我们发现它的形状位置是要变化的,但是底边EF是定值,且P到EF的距离也是定值,故它的面积是定值。再发现点Q到面PEF的距离也是定值。因此,四面体PQEF的体积是定值。我们没有一点计算,对图形的分析帮助我们解决了问题。

三、用图

在立体几何的学习中,我们会遇到许多似是而非的结论。要证明它我们一时无法完成,这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论,这样的图形就是反例图形。若我们的心中有这样的反例图形,那就可以帮助我们迅速作出判断。

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