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一、坐标平面上的直线章节概览

1、这一章节主要研究直线间的位置关系，包括

四种形式的直线方程：(1)点方向式方程;(2)点法向式方程;(3)点斜式方程;(4)一般方程。

五个基本公式(1)过两点的斜率公式;(2)两条相交直线的夹角公式;(3)两点间的距离公式;(4)两直线的夹角公式，点到直线的距离公式。 2、重点：(1)直线方程的四种方式;(2)直线倾斜角与斜率的相互转化;(3)两直线垂直与平行的充要条件;(4)两直线的夹角公式，点到直线的距离公式。 3、难点：(1)直线的点斜式方程：形如y?y0?k(x?x0)的方程的点斜式方程，其中k是直线的斜率，(x0,y0)是直线上的点，若直线的斜率不存在时，直线不能用点斜式方程表示;(2)运用两直线的夹角公式和点到直线的距离公式解决相关的问题。

二、直线方程中的向量思想

1、向量思想

在直线的方程这个章节中，不论是点方向方程还是点法向式方程，都是通过向量方法建立的。由于可以用向量的坐标这个代数形式表示一个方向，直线的很多问题就可转化为向量加以解决，如两直线平行、垂直、相交成某一角度等。 2、方程思想

本章中直线用“方程”这个代数式进行描述，几何问题代数化后解决。 例：方程(a?2)x?(1?2a)y?4?3a?0(常数a?R)既可以看成是x，y的方程，也可以看成参数a的方程;而f1(x，y)?a?f2(x，y)?0 3、分类讨论的思想

在这章里，斜率k和斜角?的以下关系经常被用到：k>0为锐角;k<0为钝角;k不存在0。

已知?，若2，ktan若2，斜率不存在;

已知k，就要根据k的符号来分类求?。 4、数形结合的思想

解析几何是用代数方法研究几何问题的，所以数形结合的思想非常重要。本章中倾斜角、斜率都有其几何意义，结合图形会使问题更直观、易于理解和解决。这种思想在以后的各章中也有很多应用。

三、直线方程的各种表达式 1、直线方程的概念

对于坐标平面内的一条直线l，如果存在一个方程f(x，y)?0，满足： (1)直线l上所有的点的坐标(x，y)都满足方程f(x，y)?0;

(2)以方程f(x，y)?0的所有解(x，y)为坐标的点都在直线l上，那么，我们把方程f(x，y)?0叫做直线l的方程，直线l叫做方程f(x，y)?0的图形。 2、直线l的方向向量

与直线l平行的向量焦作直线l的方向向量。通常用d表示。 【注意】(1)直线l的方向向量必须为非零向量。

(2)直线l的方向向量不唯一，他们之间相差一个常数倍：若d和d?都是l的方向向量，则d??d?(??R，??0)。 3、直线的店方向式方程

向量d(u，v)是直线l的一个方向向量，点P(x0，y0)为直线l上的任意一点。

xx0yy0如果向量d?(u，v)的坐标都不为零(即u?0，v?0)，那么方程叫uv做直线l的点方向方程 4、直线的点法向式方程

(1)直线l垂直的向量叫做直线l的法向量。通常用n表示。(哪些方面需注意) (2)直线的点法向式方程

向量n?(a，b)是直线的一个法向量，点P(x0，y0)为直线l上的任意一点，那么方程a(x?x0)?b(y?y0)?0叫做直线l的点法向式方程。

3)，D(5，?1)是正方形ABCD的两个顶点，试求正方形的边AB例1、已知A(2，所在的直线的点法向式方程。

【分析】：求点法向式方程，关键是找出直线的法向量。 解：因为AB⊥AD，所以直线AB的法向量n?直线的点法向式方程是3(x?2)?4(y?3)?0。

??

??4)，则边AB所在的AD?(3，?练习：

1、△ABC中，已知点A(—1，2)，B(3，4)，C(—2，5)，求： (1)BC边所在直线的方程; (2)BC边上高所在直线的方程; (3)AB边的中垂线的方程。

x?1?2t

2、直线l的参数方程是 (t?R)则l的方向向量d可以是( ) y?2?t

A (1，2) B (2，1) C (—2，1) D(3，4)

5、点方向式方程与点法向式方程的选用

(1)当已知(或隐含)平行关系时，求直线方程常考虑用点方向式方程，解题关键是确定直线的方向向量。

(2)当已知(或隐含)垂直关系时，求直线方程常考虑用点法向式方程，解题关键时确定直线的法向量。 四、直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角与斜率 定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转和直线重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线和x轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0o。 范围 0o??<180o ?图示 几种特??0o时，直线与x轴平行或重合 殊情形 ??90o时，直线与x轴垂直

例2、已知直线l两点A、B，求直线l的倾斜角?和斜率k。 (1)A(1，3)，B(5，-1) (2)A(1，2)，B(1，-1) (3)A(0，5)，B(-1，5)

[考点]：旨在考查学生对倾斜角、斜率定义和关系的掌握。一般地，当x1?x2时，

y?y过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线斜率k?21;当x1?x2时，直线斜

x2?x1率不存在。

2、直线的斜率及斜率公式

直线的倾斜角?不为90o时的正切值的斜率，常用字母k来表示，k?tan?; 直线的倾斜角为90o时，直线没有斜率。 例3、求下列直线的倾斜角和斜率： (1)

[点拨]：直线方程的各种形式中字母的几何意义及各几何量如斜率、倾斜角、方向向量、法向量等之间的相互转化是掌握直线方程的关键。

3、直线l的方向向量d?(u，v)、倾斜角?和斜率k都可刻画直线l的方向，它们之间可以相互转化

(1)如果已知d?(u，v)，那么当u?0时，k?当u?0时，k不存在(趋向无穷大)，axy5?; (2)2(x7)y6; (3)x10. 34vv，可以由tan求得 uu2。

(2)如果已知?，那么k?tan?，d?(cos?，sin?)。 (3)如果已知k，那么?可以由tan??k求得，d?(1，k)

?例4、填空

(1)若直线l的倾斜角?满足(2)若直线l的斜率是，则直线l的斜率k的取值范围是 。 44，而直线m的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，则直线m3的斜率是 。

(3)若直线l的倾斜角的正弦值是

3，则直线l的斜率为 。 2(4)若直线l与两坐标轴围成等膘直角三角形，则该直线的倾斜角为 。

4、直线l的倾斜角为?，k?tan?(??)，直线上一点(x0，y0)，那么直线l的2方程可表示为y?y0?k(x?x0)，此方程叫做直线l的点斜式方程。 例5、(1)过点(-3，2)，求直线l1，使其倾斜角为x?y?5?0的两倍; (2)过点(-3，2)，求直线l2，使其倾斜角为2x?y?1?0的两倍。

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