好多老师又要忙着为同学们写教案、备课。教案的制作需要清晰地思路，条理的章程，精品学习网编辑了2013高三数学教案：三角函数的最值问题，欢迎老师们参考借鉴!

课题 §4.9三角函数的最值

1. 基础知识

(1) 配方法求最值

主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值问题，如求函数 的最值，可转化为求函数 上的最值问题。

(2) 化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值：

如函数 的最大值是( )

A. B. C. D. 应选B

(3) 数形结合

常用到直线斜率的几何意义，例如求函数 的最大值和最小值。函数 的几何意义为两点 连线的斜率 ，而Q点的轨迹为单位圆，由图可知

(4) 换元法求最值

①利用换元法将三角函数问题转化为代数函数，此时常用万能公式和判别式求最值。

②利用三角代换将代数问题转化为三角函数，然而利用三角函数的有界性等求最值。

例如：设实数 满足 则 的最大值为______.

解：由 可设

则 ，则其最大值为5。

2. 重点难点: 通过三角变换结合代数变换求三角函数的最值。

3. 思维方式

(1) 认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。

(2) 根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关键的步骤。

(3) 在有关几何图形的最值中，应侧重于将其化为三角函数问题来解决。

4. 特别说明

注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

二、题型剖析

1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。

例1：P(66) 函数Y=acosx+b (a.b为常数),若 ,求bsinx +acosx 的最大值.

练习: 求函数 的最值，并求取得最值时的 值。

解：

=

∴当 即 时， 取得最大值，

当 即 时， 取得最小值， 。

思维点拨：三角函数的定义域对三角函数有界性的影响。

2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。

例2 P(66)

解:

,y有最小值 ,无最大值.

练习:是否存在实数a，使得函数 在闭区间 上的最大值是1?若存在，求出对应的a值?若不存在，试说明理由。

解：

当 时， ，令 则 ，

综上知，存在 符合题意。

思维点拨：闭区间上的二次函数的最值问题字母分类讨论思路。

3、换元法解决 同时出现的题型。

例3：求函数 的最小值。

解：

令 ，则

，

所以当 时，

[思维点拨]：遇到 与 相关的问题，常采用换元法，但要注意 的取值范围是 ，以保证函数间的等价转化。

4、图象法，解决形如 型的函数。

例4、P(66) 求函数 的最大值和最小值.。

思维点拨：此题为基本题型解决的方法很多，可用三角函数的有界性或万能公式，判别式法。这里以图象法的主求解。

例5、设 ，若方程 有两解，求 的取值范围。

解：

设 ，

要使两函数图象有交点(如图)，

则 。

[思维点拨]：在用数形结合法解题时，作图一定要准确。本题若改为方程有一解，则 的范围又该怎样呢?

5、利用不等式单调性求最值。

思维点拨：利用基本不等式求最值时，等号不能取得时，可利用单调性。

三、课堂小结

(1) 求三角函数最值的方法有：①配方法，②化为一个角的三角函数，③数形结合法④换元法，⑤基本不等式法。

(2) 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而要特别注意题设所给出的区间。

(3) 求三角函数的最值时，一般要进行一些三角变换以及代数换元，须注意函数有意义的条件和弦函数的有界性。

(4) 含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。

2013高三数学教案：三角函数的最值问题就到这里结束了，同学和老师们一定要认真阅读，希望能有所启发，对大家的学习和生活有所帮助。