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高中数学公式:勾股定理的应用

编辑:sx_wangha

2012-08-31

勾股定理在高中有一个口诀叫“勾三股四弦五”。什么意思呢?也就是说勾股定理的学习按着3:4:5这个比例计算的。勾指的是直角三角形直角边中短的那条,股市直角边稍微长的那条,弦就不说了,那就是斜边了。这个定义具体该怎么用呢?

一、经典证明方法细讲

方法一:

作四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED,

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°,

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c,

∴ ABEG是一个边长为c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°,

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形.

同理,HPFG是一个边长为b的正方形.

设多边形GHCBE的面积为S,则

,

∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S由此可推出:a^2+b^2=c^2

方法二

作两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形.

分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG,

∵EF=DF-DE=b-a,EI=b,

∴FI=a,

∴G,I,J在同一直线上,

∵CJ=CF=a,CB=CD=c,

∠CJB = ∠CFD = 90°,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ,

同理,RtΔABG ≌ RtΔADE,

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直线上,

所以a^2+b^2=c^2

二、勾股数的相关介绍

①观察3,4,5;5,12,13;7,24,25;…发现这些勾股数都是奇数,且从3起就没有间断过。计算0.5(9-1),0.5(9+1)与0.5(25-1),0.5(25+1),并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式。

②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明。

③继续观察4,3,5;6,8,10;8,15,17;…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦。   ]在一个三角形中,两条边的平方和等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形。

三、勾股定理的命题方向

命题1:以已知线段为边,求作一等边三角形。

命题2:求以已知点为端点,作一线段与已知线段相等。

命题3:已知大小两线段,求在大线段上截取一线段与小线段相等。

命题4:两三角形的两边及其夹角对应相等,则这两个三角形全等。

命题5:等腰三角形两底角相等。

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