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人教版高一年级数学下学期三单元圆的方程知识点

编辑:sx_songlj

2018-05-17

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a、b、r,即圆心坐标为(a,b),只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,须三个独立条件,其中圆心坐标是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。那么同学们赶快一起来看看圆的方程知识点

圆的方程定义:

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,有三个参数a、b、r,即圆心坐标为(a,b),只要求出a、b、r,这时圆的方程就被确定,因此确定圆方程,须三个独立条件,其中圆心坐标是圆的定位条件,半径是圆的定形条件。

直线和圆的位置关系:

1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离.

方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.

①d<R,直线和圆相交.②d=R,直线和圆相切.③d>R,直线和圆相离.

2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

切线的性质

⑴圆心到切线的距离等于圆的半径;

⑵过切点的半径垂直于切线;

⑶经过圆心,与切线垂直的直线必经过切点;

⑷经过切点,与切线垂直的直线必经过圆心;

当一条直线满足

(1)过圆心;

(2)过切点;

(3)垂直于切线三个性质中的两个时,第三个性质也满足.

切线的判定定理

经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

切线长定理

从圆外一点作圆的两条切线,两切线长相等,圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.

圆锥曲线性质:

一、圆锥曲线的定义

1.椭圆:到两个定点的距离之和等于定长(定长大于两个定点间的距离)的动点的轨迹叫做椭圆.

2.双曲线:到两个定点的距离的差的绝对值为定值(定值小于两个定点的距离)的动点轨迹叫做双曲线.即.

3.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当01时为双曲线.

二、圆锥曲线的方程

1.椭圆:+ =1(a>b>0)或 + =1(a>b>0)(其中,a2=b2+c2)

2.双曲线:- =1(a>0,b>0)或 - =1(a>0,b>0)(其中,c2=a2+b2)

3.抛物线:y2=±2px(p>0),x2=±2py(p>0)

三、圆锥曲线的性质

1.椭圆:+ =1(a>b>0)

(1)范围:|x|≤a,|y|≤b(2)顶点:(±a,0),(0,±b)(3)焦点:(±c,0)(4)离心率:e= ∈(0,1)(5)准线:x=±

2.双曲线:- =1(a>0,b>0)(1)范围:|x|≥a,y∈R(2)顶点:(±a,0)(3)焦点:(±c,0)(4)离心率:e= ∈(1,+∞)(5)准线:x=± (6)渐近线:y=± x

3.抛物线:y2=2px(p>0)(1)范围:x≥0,y∈R(2)顶点:(0,0)(3)焦点:( ,0)(4)离心率:e=1(5)准线:x=-

练习题:

1.△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(3,0),C(3,4),则该三角形外接圆方程是(  )

A.(x-2)2+(y-2)2=20

B.(x-2)2+(y-2)2=10

C.(x-2)2+(y-2)2=5

D.(x-2)2+(y-2)2=

【解析】选C.易知△ABC是直角三角形,∠B=90°,所以圆心是斜边AC的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即r= ,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.

2.已知圆C经过A(5,2),B(-1,4)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程是(   )

A.(x-2)2+y2=13    B.(x+2)2+y2=17

C.(x+1)2+y2=40    D.(x-1)2+y2=20

【解题指南】根据题意设圆心坐标为C(a,0),由|AC|=|BC|建立关于a的方程,解之可得a,从而得到圆心坐标和半径,可得圆C的标准方程.

【解析】选D.因为圆心在x轴上,

所以设圆心坐标为C(a,0),

又因为圆C经过A(5,2),B(-1,4)两点,

所以r=|AC|=|BC|,可得 = ,解得a=1,

可得半径r= = =2 ,

所以圆C的方程是(x-1)2+y2=20.

3.已知实数x,y满足x2+y2=9(y≥0),则m= 的取值范围是(   )

A.m≤- 或m≥      B.- ≤m≤

C. m≤-3或m≥      D.-3≤m≤

【解题指南】m= 的几何意义是:半圆上的点(x,y)与(-1,-3)连线的斜率,作出图形,求出直线的斜率即可得解.

【解析】选A.由题意可知m= 的几何意义是:半圆上的点(x,y)与(-1,-3)连线的斜率,作出图形,所以m的范围是:m≥ = 或m≤ =- .

故所求m的取值范围是m≤- 或m≥ .

4.设P(x,y)是圆C(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为(    )

A.6

B.25

C.26

D.36

【解析】选D.(x-5)2+(y+4)2的几何意义是点P(x,y)到点Q(5,-4)的距离的平方,由于点P在圆(x-2)2+y2=1上,这个最大值是(|QC|+1)2=36.

以上就是我们给同学们整理的圆的方程知识点啦!想要了解更多精彩的内容,大家可点击精品学习网来看~~

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