数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。精品小编准备了高一数学必修1第三章专题测试，希望你喜欢。

一、选择题

1.函数f(x)=23x+1+a的零点为1，则实数a的值为(　　)

A.-2  B.-12

C.12   D.2

解析　由已知得f(1)=0，即231+1+a=0，解得a=-12.故选B.

答案　B

2.函数f(x)=2x-x-2的一个零点所在的区间是(　　)

A.(0,1)   B.(1,2)

C.(2,3)   D.(3,4)

解析　由f(0)=20-0-2<0，f(1)=2-1-2<0，f(2)=22-2-2>0，根据函数零点存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B.

答案　B

3.(2014•北京卷)已知函数f(x )=6x-log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　)

A.(0,1)   B.(1,2)

C.(2,4)   D.(4，+∞)

解析　由题意知，函数f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(1)=6-0=6>0，f(2)=3-1=2>0，f(4)=64-log24=32-2=-12<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2,4)上必存在零点.

答案　C

4.(2014•湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-3x，则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(　　)

A.{1,3}   B.{-3，-1,1,3}

C.{2-7，1,3}   D.{-2-7，1,3

解析　求出当x<0时f(x)的解析式，分类讨论解方程即可.令x<0，则-x>0，所以f(-x)=(-x)2+3x=x2+3x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x). 所以当x<0时，f(x)=-x2-3x.所以当x≥0时，g(x)=x2-4x+3.令g(x)=0，即x2-4x+3=0，解得x=1或x=3.当x<0时，g(x)=-x2-4x+3.令g(x)=0，即x2+4x-3=0，解得x=-2+7>0(舍去)或x=-2-7.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为{-2-7，1,3}.

答案　D

5.已知函数f(x)=kx+2，x≤0lnx，x>0(k∈R)，若函数y=|f(x)|+k有三个零点，则实数k的取值范围是(　　)

A.k≤2   B.-1

C.-2 ≤k<-1  D.k≤-2

解析　由y=|f(x)|+k=0得|f(x)|=-k≥0，所以 k≤0，作出函数y=|f(x)|的图象，

要使y=-k与函数y=|f(x)|有三个交点，则有-k≥2，即k≤-2，选D.

答案　D

6.x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(0，π))的零点，x10，其中正确的命题为(　　)

A.①③   B.①④

C.②③    D.②④

解析　因为f(1)=2sin1-πln1=2sin1>0，f(e)=2sin e-π<0，所以x0∈(1，e)，即①正确.

f′(x)=2cosx-πx，当x∈0，π2时，πx>2，f′(x)<0，

当x=π2时，f′(x)=-2<0，

当x∈π2，π时，1<πx<2，cosx< 0，f′(x)<0.

综上可知，f′(x)<0，f(x)为减函数，f(x1)>f(x2)，即f(x1)-f(x2)>0，④正确.

答案　B

二、填空题

7.已知0

解析　分别画出函数y=ax(0

答案　2

8.(2014•福建卷)函数f(x)=x2-2，x≤0，2x-6+lnx，x>0的零点个数是________.

解析　分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个.

当x≤0时，令x2-2=0，解得x=-2(正根舍去)，

所以在(-∞，0]上有一个零点.

当x>0时，f′( x)=2+1x>0恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数.

又因为f(2)=-2+ln2<0，f(3)=ln3>0，f(2)•f(3)<0，所以f(x)在(2,3)内有一个零点.

综上，函数f(x)的零点个数为2.

答案　2

9.(2 014•陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

解析　如图所示，△ADE∽△ABC，设矩形的面积为S，另一边长为y，

则S△ADES△ABC=40-y402=x402.

所以y=40-x，则S=x(40-x)=-(x-20)2+202，

所 以当x=20时，S最大.

答案　20

三、解答题

10.已知函数f(x)=2x，g(x)=12|x|+2.

(1)求函数g(x)的值域;

(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.

解　(1)g(x)=12|x|+2=12|x|+2，

因为|x|≥0，所以0<12|x|≤1，

即2

(2)由f(x)-g(x)=0，得2x-12|x|-2=0，

当x≤0时，显然不满足方程，

当x>0时，由2x-12x-2=0，

整理得(2x)2-2•2x-1=0，(2x-1)2=2，

故2x=1±2，因为2x >0，所以2x=1+2，

即x=log2(1+2).

11.设函数f(x)=x3-92x2+6x-a.

(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值;

(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.

解　(1)f′(x)=3x2-9x+6，

因为x∈R时，f′(x)≥m，

即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立，

所以Δ=81-12(6-m)≤0，得m≤-34，

故 m的最大值为-34.

(2)由(1)知，f′(x)=3(x-1)(x-2)，当x<1时，f′(x)>0;当12时，f′(x)>0.

所以当x=1时，f(x)取极大值f(1)=52-a;

当x=2时，f(x)取极小值f(2)=2-a;

故当f(2)>0或f(1)<0时，方程f(x)=0仅有一个实根.

解得a<2或a>52.

∴实数a的取值范围是(-∞，2)∪52，+∞.

B级——能力提高组

1.(2014•湖南卷)已知函数f(x)=x2+ex-12(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是(　　)

A.-∞，1e   B.(-∞，e)

C.-1e，e   D.-e，1e

解析　设x0，x20+ex0-12是函数f(x)图象上任意一点，该点关于y轴的对称点-x0，x20+ex0-12在函数g(x)的图象上，则x20+ex0-12=x20+ln(a-x0)，即ln(a-x0)=ex0-12，∴a= x0+e ex0- 12  (x<0).

记h(x)=x+eex-12=x+1eeex，

则h′(x)=1+1eeex•ex=1+1eeex+x>0，

∴h(x)在(-∞，0)上是增函数.

∴a

答案　B

2.(2014•浙江名校联考)已知函数f(x)=x2+1x2+ax+1x+a在定义域上有零点，则实数a的取值范围是________.

解析　f(x)=x+1x2+ax+1x+a-2 ，x≠0，

令x+1x=t，则t∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，

由于f(x)有零点，则关于t的方程t2+at+a-2=0在(-∞，-2]∪[2，+∞)上有解.

∵t≠-1，∴方程t2+at+a-2=0可化为a=2-t2t+1，t∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，问题就转化为a=2-t2t+1=-t+12+2t+1+1t+1=-(t+1)+1t+1+2，t∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，a=-(t+1)+1t+1+2在(-∞，-2]和[2，+∞)上都是减函数，故当t≤-2时，a≥2;当t≥2时，a≤-23，∴a∈-∞，-23∪[2，+∞).

答案　-∞，-23∪[2，+∞)

3.(2014•江苏南京一模)如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.

(1)求x的取值范围(运算中2取1.4);

(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为433ax元/m2，其余区域的造价为12a11元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低?

解　(1)由题意得x≥9，100-2x≥60，1002-2x-2×15x2≥2×10，

解得x≥9，x≤20，-20≤x≤15，即9≤x≤15.

(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得

y=a×π×15x22+433ax× πx2+12a11×104-π×15x22-πx2

=a11π-125x4+43x3-12x2+12×104，

令f(x)=-125x4+43x3-12x2，

则f′(x)=-425x3+4x2-24x=-4x125x2-x+6，

由f′(x)=0，解得x=10或x=15，

列表如下：

x 9 (9,10) 10 (10,15) 15

f′(x)  - 0 + 0

f(x)  ?↘ 极小值 ?

所以当x=10时，y取最小值.

即当x=10 m时，可使“环岛”的整体造价最低.

高一数学必修1第三章专题测试就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。

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