高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了数学2014年高三必修同步练习，希望对大家有帮助。

1.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为

(　　)

A.34   B.1

C.54   D.74

解析：(如图)过A、B及线段AB中点C向抛物线的准线l作垂线，

垂足分别为A1、B1、C1，CC1交y轴于C0.

由抛物线定义可知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|，

∴|CC0|=|CC1|-|C1C0|=12(|AA1|+|BB1|)-|C1C0|=32-14=54，故选C.

答案：C

2.(2013•天津)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为3，则p=

(　　)

A.1   B.32

C.2   D.3

解析：由已知得双曲线离心率e=ca=2，得c2=4a2，∴b2=c2-a2=3a2，即b=3a.又双曲线的渐近线方程为y=±bax，抛物线的准线方程为x=-p2，

所以A-p2，bp2a，B-p2，-bp2a，于是|AB|=bpa.由△AOB的面积为3可得12•bpa•p2=3，所以p2=43•ab=43•a3a=4，解得p=2或p=-2(舍去)，故选C.

答案：C

3.(2013•江西)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23-y23=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=________.

解析：如图，在正三角形ABF中，DF=p，BD=33p，∴B点坐标为33p，-p2.又点B在双曲线上，故13p23-p243=1，

解得p=6.

答案：6

4.(2013•湖南)过抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.

(1)若k1>0，k2>0，证明：FM→•FN→<2p2;

(2)若点M到直线l的距离的最小值为755，求抛物线E的方程.

解：(1)由题意，抛物线E的焦点为F0，p2，直线l1的方程为y=k1x+p2.

由y=k1x+p2，x2=2py得x2-2pk1x-p2=0.

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实数根.

从而x1+x2=2pk1，

y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk21+p.

所以点M的坐标为pk1，pk21+p2，FM→=(pk1，pk21)，

同理可得点N的坐标为(pk2，pk22+p2)，FN→=(pk2，pk22)，

于是FM→•FN→=p2(k1k2+k21k22).

由题设，k1+k2=2，k1>0，k2>0，k1≠k2，

所以0

故FM→•FN→

(2)由抛物线的定义得|FA|=y1+p2，|FB|=y2+p2，所以|AB|=y1+y2+p=2pk21+2p，从而圆M的半径r1=pk21+p.

故圆M的方程为(x-pk1)2+y-pk21-p22=(pk21+p)2，

化简得x2+y2-2pk1x-p(2k21+1)y-34p2=0.

同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-34p2=0.

于是圆M，圆N的公共弦所在直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k21)y=0.

又k2-k1≠0，k1+k2=2，则l的方程为x+2y=0.

因为p>0，所以点M到直线l的距离

d=|2pk21+pk1+p|5=p|2k21+k1+1|5

=p2k1+142+785.

故当k1=-14时，d取最小值7p85.由题设，7p85=755，解得p=8.故所求的抛物线E的方程为x2=16y.

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