高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了2014年高三必修数学同步训练，希望对大家有帮助。

7.直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是________.

解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由y=kx-2，y2=8x，

消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0，

由题意得Δ=[-4k+2]2-4×k2×4>0，x1+x2=4k+2k2=2×2，

∴k>-1，k=-1或k=2，即k=2.

答案：2

8.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为原点).

(1)求证：1a2+1b2等于定值;

(2)若椭圆的离心率e∈32，22，求椭圆长轴长的取值范围.

解：(1)证明：由b2x2+a2y2=a2b2，x+y-1=0

消去y，得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0，①

∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ>0，

即4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0

⇒a2b2(a2+b2-1)>0，

∵a>b>0，∴a2+b2>1.

设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两实根.

∴x1+x2=2a2a2+b2，x1x2=a21-b2a2+b2.②

由OP⊥OQ得x1x2+y1y2=0，

又y1=1-x1，y2=1-x2，

得2x1x2-(x1+x2)+1=0.③

式②代入式③化简得a2+b2=2a2b2.④

∴1a2+1b2=2.

(2)利用(1)的结论，将a表示为e的函数

由e=ca⇒b2=a2-a2e2，

代入式④，得2-e2-2a2(1-e2)=0.

∴a2=2-e221-e2=12+121-e2.

∵33≤e≤22，∴54≤a2≤32.

∵a>0，∴52≤a≤62.

∴长轴长的取值范围为[5，6].

9.已知抛物线C：y2=4x，过点A(-1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设AP→=λAQ→.

(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F;

(2)若λ∈13，12，求|PQ|的最大值.

解：(1)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，-y1).

∵AP→=λAQ→，∴x1+1=λ(x2+1)，y1=λy2，

∴y21=λ2y22，y21=4x1，y22=4x2，x1=λ2x2，

∴λ2x2+1=λ(x2+1)，λx2(λ-1)=λ-1，

∵λ≠1，∴x2=1λ，x1=λ，又F(1,0)，

∴MF→=(1-x1，y1)=(1-λ，λy2)

=λ1λ-1，y2=λFQ→，

∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.

(2)由(1)知x2=1λ，x1=λ，

得x1x2=1，y21•y22=16x1x2=16，

∵y1y2>0，∴y1y2=4，

则|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2

=x21+x22+y21+y22-2(x1x2+y1y2)

=λ+1λ2+4λ+1λ-12

=λ+1λ+22-16，

λ∈13，12，λ+1λ∈52，103，

当λ+1λ=103，即λ=13时，|PQ|2有最大值1129，|PQ|的最大值为473.

B组　能力突破

1.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则|AF||BF|的值等于

(　　)

A.5　　　　　　　　 B.4

C.3   D.2

解析：记抛物线y2=2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1，C，则有cos 60°=|AC||AB|=|AA1|-|BB1||AF|+|BF|=|AF|-|BF||AF|+|BF|=12，由此得|AF||BF|=3，选C.

答案：C

2.(2013•课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为

(　　)

A.y2=4x或y2=8x   B.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16x   D.y2=2x或y2=16x

解析：以MF为直径的圆过点(0,2)，∴点M在第一象限.由|MF|=xM+p2=5得M5-p2， 2p5-p2.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为52，12 2p5-p2，

∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y轴切于点(0,2)，

从而2=12 2p5-p2，即p2-10p+16=0，解得p=2或p=8，∴ 抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.

答案：C

精品学习网小编为大家整理了2014年高三必修数学同步训练，希望对大家有所帮助。