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2014数学数列测试题高三

编辑:sx_chenj

2014-04-03

2014数学数列测试题高三

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.

1.在等差数列{an}中,若a1+a2+a12+a13=24,则a7为(  )

A.6    B.7    C.8    D.9

解析:∵a1+a2+a12+a13=4a7=24,∴a7=6.

答案:A

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S33-S22=1,则数列{an}的公差是(  )

A.12         B.1         C.2          D.3

解析:由Sn=na1+n(n-1)2d,得S3=3a1+3d,S2=2a1+d,代入S33-S22=1,得d=2,故选C.

答案:C

数学数列测试题高三3.已知数列a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2 011等于(  )

A.1           B.-4          C.4             D.5

解析:由已知,得a1=1,a2=5,a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…

故{an}是以6为周期的数列,

∴a2 011=a6×335+1=a1=1.

答案:A

4.设{an}是等差数列,Sn是其前n项和,且S5

A.d<0   B.a7=0

C.S9>S5   D.S6与S7均为Sn的最大值

解析:∵S5

又S7>S8,∴a8<0.

假设S9>S5,则a6+a7+a8+a9>0,即2(a7+a8)>0.

∵a7=0,a8<0,∴a7+a8<0.假设不成立,故S9

答案:C

5.设数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,若S3=3a3,则公比q的值为(  )

A.-12   B.12

C.1或-12   D.-2或12[

解析:设首项为a1,公比为q,

则当q=1时,S3=3a1=3a3,适合题意.

当q≠1时,a1(1-q3)1-q=3•a1q2,

∴1-q3=3q2-3q3,即1+q+q2=3q2,2q2-q-1=0,

解得q=1(舍去),或q=-12.

综上,q=1,或q=-12.

答案:C

6.若数列{an}的通项公式an=5 •252n-2-4•25n-1,数列{an}的最大项为第x项,最小项为第y项,则x+y等于(  )

A.3           B.4             C.5             D.6

解析:an=5•252n-2-4•25n-1=5•25n-1-252-45,

∴n=2时,an最小;n=1时,an最大.

此时x=1,y=2,∴x+y=3.

答案:A

7.数列{an}中,a1 =15,3an+1= 3an-2(n∈N *),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是(  )

A.a21a22          B.a22a23            C.a23a24            D.a24a25

解析:∵3an+1=3an-2,

∴an+1-an=-23,即公差d=-23.

∴an=a1+(n-1)•d=15-23(n-1).

令an>0,即15-23(n-1)>0,解得n<23.5.

又n∈N*,∴n≤23,∴a23>0,而a24<0,∴a23a24<0.

答案:C

8.某工厂去年产值为a,计划今后5年内每年比上年产值增加10%,则从今年起到第5年,这个厂的总产值为(  )

A.1.14a   B.1.15a

C.11×(1.15-1)a   D.10×(1.16-1)a

解析:由已知,得每年产值构成等比数列a1=a,w

an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6).

∴总产值为S6-a1=11×(1.15-1)a.

答案:C

9.已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100,那么a7•a14的最大值为(  )

A.25           B.50             C.1 00           D.不存在

解析:由S20=100,得a1+a20=10.    ∴a7+a14=10.

又a7>0,a14>0,∴a7•a14≤a7+a1422=25.

答案:A

10.设数列{an}是首项为m,公比为q(q≠0)的等比数列,Sn是它的前n项和,对任意的n∈N*,点an,S2nSn(  )

A.在直线mx+qy-q=0上

B.在直线qx-my+m=0上

C.在直线qx+my-q=0上

D.不一定在一条直线上

解析:an=mqn-1=x,             ①S2nSn=m(1-q2n)1-qm(1-qn)1-q=1+qn=y,  ②

由②得qn=y-1,代入①得x=mq(y-1), 即qx-my+m=0.

答案:B

11.将以2为首项的偶数数列,按下列方法分组:(2),(4,6),(8,10,12),…,第n组有n个数,则第n组的首项为(  )

A.n2-n   B.n2+n+2

C.n2+n   D.n2-n+2

解析:因为前n-1组占用了数列2,4,6,…的前1+2+3+…+(n-1)=(n-1)n2项,所以第n组的首项为数列2,4,6,…的第(n-1)n2+1项,等于2+(n-1)n2+1-1•2=n2-n+2.

答案:D

12.设m∈N*,log2m的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)+…+F(1 024)的值是(  )

A.8 204  B.8 192

C.9 218  D.以上都不对

解析:依题意,F(1)=0,

F(2)=F(3)=1,有2 个

F(4)=F(5)=F(6)=F(7)=2,有22个.

F(8)=…=F(15)=3,有23个.

F(16)=…=F(31)=4,有24个.

F(512)=…=F(1 023)=9,有29个.

F(1 024)=10,有1个.

故F(1)+F(2)+…+F(1 024)=0+1×2+2×22+3×23+…+9×29+10.

令T=1×2+2×22+3×23+…+9×29,①

则2T=1×22+2×23+…+8×29+9×210.②

①-②,得-T=2+22+23+…+29-9×210 =

2(1-29)1-2-9×210=210-2-9×210=-8×210-2,

∴T=8×210+2=8 194, m]

∴F(1)+F(2)+…+F(1 024)=8 194+10=8 204.

答案:A

第Ⅱ卷 (非选择 共90分)

二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分 ,共20分.

13.若数列{an} 满足关系a1=2,an+1=3an+2,该数 列的通项公式为__________.

解析:∵an+1=3an+2两边加上1得,an+1+1=3(an+1),

∴{an+1}是以a1+1=3为首项,以3为公比的等比数列,

∴an+1=3•3n-1=3n,∴an=3n-1.

答案:an=3n-1

14.已知公差不为零的等差数列{an}中,M=anan+3,N=an+1an+2,则M与N的大小关系是__________.

解析:设{an}的公差为d,则d≠0.

M-N=an(an+3d)-[(an+d)(an+2d)]

=an2+3dan-an2-3dan-2d2=-2d2<0,∴M

答案:M

15.在数列{an}中,a1=6,且对任意大于1的正整数n,点(an,an-1)在直线x-y=6上,则数列{ann3(n+1)}的前n项和Sn=__________.

解析:∵点(an,an-1)在直线x-y=6上,

∴an-an-1=6,即数列{an}为等差数列.

∴an=a1+6(n-1)=6+6(n-1)=6n,

∴an=6n2.

∴ann3(n+1)=6n2n3(n+1)=6n(n+1)=61n-1n+1

∴Sn=61-12+12-13+…+1n-1n+1.=61-1n+1=6nn+1.

答案:6nn+1

16.观察下表:

1

2 3 4

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8 9 10

则第__________行的各数之和等于2 0092.

解析:设第n行的各数之和等于2 0092,

则此行是一个首项a1=n,项数为2n-1,公差为1的等差数列.

故S=n×(2n-1)+(2n-1)(2n-2)2=2 0092, 解得n=1 005.

答案:1 005

三、解答题:本大题共6小题,共70分.

17.(10分)已知数列{an}中,a1=12,an+1=12an+1(n∈N*),令bn=an-2.

(1)求证:{bn}是等比数列,并求bn;

(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.

解析:(1)∵bn+1bn=an+1-2an-2=12an+1-2an-2=12an-1an-2=12,

∴{bn}是等比数列.

∵b1=a1-2=-32,

∴bn=b1qn-1=-32×12n-1=-32n.

(2)an=bn+2=-32n+2,

Sn=a1+a2+…+an

=-32+2+-322+2+-323+2+…+-32n+2

=-3×12+122+…+12n+2n=-3×12×1-12n1-12+2n=32n+2n-3.

18.(12分)若数列{an}的前n项和Sn=2n.

(1)求{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=-1,bn+1=bn+(2n-1),且cn=an•bnn,求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.

解析:(1)由题意Sn=2n,

得Sn-1=2n-1(n≥2),

两式相减,得an=2n-2n-1=2n-1(n≥2).

当n=1时,21-1=1≠S1=a1=2.

∴an=2  (n=1),2n-1  (n≥2).

(2)∵bn+1=bn+(2n-1),

∴b2-b1=1,

b3-b2=3,

b4-b3=5,

bn-bn-1=2n-3.

以上各式相加,得

bn-b1=1+3+5+…+(2n-3)

=(n-1)(1+2n-3)2=(n-1)2.

∵b1=-1,∴bn=n2-2n,

∴cn=-2     (n=1),(n-2)×2n-1  (n≥2),

∴Tn=-2+0×21+1×22+2×23+…+(n-2)×2n-1,

∴2Tn=-4+0×22+1×23+2×24+…+(n-2)×2n.

∴-Tn=2+22+23+…+2n-1-(n-2)×2n

=2(1-2n-1)1-2-(n-2)×2n

=2n-2-(n-2)×2n

=-2-(n-3)×2n.

∴Tn=2+(n-3)×2n.

19.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,公差d≠0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若从数列{an}中依次取出第2项,第4项,第8项,…,第2n项,…,按原来顺序组成一个新数列{bn},记该数列的前n项和为Tn,求Tn的表达式.

解析:(1)依题意,得

3a1+3×22d+5a1+5×42d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,d=2.

∴an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,

即an=2n+1.

(2)由已知,得bn=a2n=2×2n+1=2n+1+1,

∴Tn=b1+b2+…+bn

=(22+1)+(23+1)+…+(2n+1+1)

=4(1-2n)1-2+n=2n+2-4+n.

20.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,且ban-2n=(b-1)Sn.

(1)证明:当b=2时,{an-n•2n-1}是等比数列;

(2)求通项an. 新 课  标  第  一 网

解析:由题意知,a1=2,且ban-2n=(b-1)Sn,

ban+1-2n+1=(b-1)Sn+1,

两式相减,得b(an+1-an)-2n=(b-1)an+1,

即an+1=ban+2n.①

(1)当b=2时,由①知,an+1=2an+2n.

于是an+1-(n+1)•2n=2an+2n-(n+1)•2n

=2an-n•2n-1.

又a1- 1•20=1≠0,

∴{an-n•2n-1}是首项为1,公比为2的等比数列.

(2)当b=2时,

由(1)知,an-n•2n-1=2n-1,即an=(n+1)•2n-1

当b≠2时,由①得

an +1-12-b•2n+1=ban+2n-12-b•2n+1=ban-b2-b•2n

=ban-12-b•2n,

因此an+1-12-b•2n+1=ban-12-b•2n=2(1-b)2-b•bn.

得an=2,          n=1,12-b[2n+(2-2b)bn-1],  n≥2.

21.(12分)某地在抗洪抢险中接到预报,24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达,为保证万无一失,抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线.经计算,如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时,可以筑起第二道防线,但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外,其余车辆需从各处紧急抽调,每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作.问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作,才能保证24小时内完成第二道防线,请说明理由.

解析:设从现有这辆车投入工作算起,各车的工作时间依次组成数列{an},则an-an-1=-13.

所以各车的工作时间构成首项为24,公差为-13的等差数列,由题知,24小时内最多可抽调72辆车.

设还需组织(n-1)辆车,则

a1+a2+…+an=24n+n(n-1)2×-13≥20×25.

所以n2-145n+3 000≤0,

解得25≤n≤120,且n≤73.

所以nmin=25,n-1=24.

故至少还需组织24辆车陆续工作,才能保证在24小时内完成第二道防线.

22.(12分)已知点集L={(x,y)|y=m•n},其中m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),点列Pn(an,bn)在点集L中,P1为L的轨迹与y轴的交点,已知数列{an}为等差数列,且公差为1,n∈N*.

(1)求数列{an},{bn}的通项公式;

(3)设cn=5n•an•|PnPn+1|(n≥2),求c2+c3+c4+…+cn的值.

解析:(1)由y=m•n,m=(2x-2b,1),n=(1,1+2b),

得y=2x+1,即L:y=2x+1.

∵P1为L的轨迹与y轴的交点,

∴P1(0,1),则a1=0,b1=1.

∵数列{an}为等差数列,且公差为1,

∴an=n-1(n∈N*) .

代入y=2x+1,得bn=2n-1(n∈N*).

(2)∵Pn(n-1,2n-1),∴Pn+1(n,2n+1).

=5n2-n-1=5n-1102-2120.

∵n∈N*,

(3)当n≥2时,Pn(n-1,2n-1),

∴c2+c3+…+cn

=1-12+12-13+…+1n-1-1n=1-1n.

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