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2017届高三数学第一次联考理试卷带答案

2017-05-10
【精品学习网-高三数学试题】2017届高三数学第一次联考理试卷带答案
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2017届高三数学第一次联考理试卷带答案

一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分).

1.已知集合 , 为虚数单位,则下列选项正确的是

A. B. C. D.

2.已知集合 , ,则 为

A.(1,2)B.(1,+∞)C.[2,+∞)D.[1,+∞)

3.如图所示的函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中交点横坐标的是

A.①③ B.②④

C.①② D.③④

4.已知 是定义在 上的偶函数,且在区间 上单调递增,

若实数 满足 ,则 的取值范围是

A. B. C. D.

5.某流程图如右图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数

A. B.

C. D.

6.公比为2的等比数列{an}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a10=

A.4 B.5 C.6 D.7

7.下列命题中是假命题的是

A. ,使函数 是偶函数;

B. ,使得 ;

C. ,使 是幂函数,且在 上递减;

D. .

8.若函数 的图象

如图所示,则

A. B.

C. D.

9.已知函数 的一条对称轴为直线 ,则要得到函数 的图象,只需把函数 的图象

A.沿 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 倍

B.沿 轴向右平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 倍

C.沿 轴向左平移 个单位,纵坐标伸长为原来的 倍

D.沿 轴向右平移 个单位,纵坐(高中学习网WwW.GaoZhong.CC/)标伸长为原来的 倍

10.若直线ax﹣by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4,则 的最小值为( )

A . B. C. D.

11.若点P是曲线 上任意一点,则点P到直线 的最小距离为

A.1 B. C. D.

12.已知函数 ,其中 ,若对 ,

,使得 成立,则实数 的最小值为

A. B. C.6 D.8

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置).

13.计算 __ ▲▲▲ .

14.已知 ,设函数 ,

则 __ ▲▲▲ .

15.若函数 的定义域为 ,其值域为 ,则这样的函数 有__ ▲▲▲ .个.(用数字作答)

16.如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 上有10个不同的点 …… ,则 =__ ▲▲▲ .

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)

17.(本小题满分12分)已知向量 ,函数 .

(1)若 , ,求 的值;

(2)在 中,角 的对边分别是 ,且满足 ,求角B的取值范围.

18.(本小题满分12分)在一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下定义域为 的函数:

(1)现在从盒子中任意取两张卡片,记事件A为“这两张卡片上函数相加,所得新函数是奇函数”,求事件A的概率;

(2)从盒中不放回逐一抽取卡片,若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取,否则继续进行,记停止时抽取次数为 ,写出 的分布列,并求其数学期望 .

19.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PA=1,PA⊥平面ABCD,E是PC的中点,F是AB的中点.

(1)求证:BE∥平面PDF;

(2)求证:平面PDF⊥平面PAB;

(3)求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的大小.

20.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系 中,椭圆 的离心率 ,且点 在椭圆 上.

(1)求椭圆 的方程;

(2)若点 、 都在椭圆 上,且 中点 在线段 (不包括端点)上.求 面积的最大值.

21.(本小题满分12分)

已知函数 .

(1)若曲线 过点 ,求曲线 在点 处的切线方程;

(2)求函数 在区间 上的最大值;

(3)若函数 有两个不同的零点 ,求证:

请考生在第22~24三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分.

22、(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,AB为圆 的直径,P为圆 外一点,过P点作PC AB于C,交圆 于D点,PA交圆 于E点,BE交PC于F点.

(1)求证: P= ABE;

(2)求证:CD2=CF?CP.

23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 中,以原点 为极点, 轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的方程为 ( 为参数),曲线C2的极坐标方程为: ,若曲线C1与C2相交于A、B两点.

(1)求|AB|的值;

(2)求点 到A、B两点的距离之积.

24.(本题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知函数 .

(1)若 ,求不等式 的解集;

(2)若方程 有三个不同的解,求 的取值范围.

2017届高三数学五校联考(理科数学)

参考答案

一.选择:(12×5=60)

题号123456789101112

答案CAACABDDACBD

二:填空(4×5=20)

13. 2 14 5 15. 243 16. 180

三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

17. 解:(Ⅰ)

= ………2分

,又 ……4分

………6分

(Ⅱ)由 得 …………………8分

………10分

………12分

18. 解:(1)由题意得 是奇函数, 为偶函数, 为非奇非偶函数,所以P(A)= ………………(4分)

(2)由题意可知, 的所有可能取值为1,2,3,4

P( )= ,P( 2)= ,P( )= = ,

P( )= ………………(8分)

所以 的分布列为:

1234

P

………………(10分

所以E =1 + +3 +4 = 。………………(12分)

19. 解:(Ⅰ)证明:取PD中点为M,连ME,MF.

∵E是PC的中点∴ME是△PCD的中位线,

∴ME平行且等于 .∵F是AB中点且ABCD是菱形,∴AB平行且等于CD,∴ME平行且等于 .

∴ME平行且等于FB∴四边形MEBF是平行四边形.从而BE∥MF.

∵BE?平面PDF,MF?平面PDF,

∴BE∥平面PDF.……………………(4分)

(Ⅱ)证明:∵PA⊥平面ABCD,DF?平面ABCD,

∴DF⊥PA.连接BD,

∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△DAB为正三角形.

∵F是AB的中点,∴DF⊥AB.

∵PA∩AB=A,∴DF⊥平面PAB.

∵DF?平面PDF,∴平面PDF⊥平面PAB.……………………(8分)

(Ⅲ)解:建立如图所示的坐标系,则P(0,0,1),C( ,3,0),D(0,2,0),

F( , ,0)由(Ⅱ)知DF⊥平面PAB,

∴ 是平面PAB的一个法向量,设平面PCD的一个法向量为

由 ,且由

在以上二式中令 ,则得x=﹣1, ,

∴ .设平面PAB与

平面PCD所成锐角为θ,则cosθ= =

故平面PAB与平面PCD所成的锐角为60°.……………………(12分)

20. 解:(1)由题意得: ………2分

所以椭圆C的方程为 ………4分

(2)①法一、设 ,直线AB的斜率为

则 ………6分

又直线 : , 在线段 上, 所以 所以 ………8分

法二、设 ,直线AB的方程为 ,

由题意, 所以 ………6分

又直线 : , 在线段 上,

所以 ,所以 ………8分

法三、设 ,直线AB的方程为

由题意, 所以 ………6分

又直线 : , 在线段 上,

所以 在直线 上

解 得: ………8分

设直线AB的方程为 ,

则 ,所以 ………9分

所以 ,原点到直线的距离 …10分

当且仅当 时,等号成立.,所以 面积的最大值 …12分

21. 解:(1)因为点P(1,﹣1)在曲线y=f(x)上,所以﹣m=﹣1,解得m=1.

因为f′(x)= ﹣1=0,所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=﹣1.……(3分)

(2)因为f′(x)= ﹣m= .

①当m≤0时,x∈(1,e),f′(x)>0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,

则f(x)max=f(e)=1﹣me.

②当 ≥e,即0<m≤ 时,x∈(1,e),f′(x)>0,

所以函数f(x)在(1,e)上单调递增,则f(x)max=f(e)=1﹣me.

③当1< <e,即 <m<1时,

函数f(x)在(1, )上单调递增,在( ,e)上单调递减,

则f(x)max=f( )=﹣lnm﹣1.

④当 ≤1,即m≥1时,x∈(1,e),f′(x)<0,

函数f(x)在(1,e)上单调递减,则f(x)max=f(1)=﹣m.

综上,①当m≤ 时,f(x)max=1﹣me;

②当 <m<1时,f(x)max=﹣lnm﹣1;

③当m≥1时,f(x)max=﹣m.……(8分)(分类时,每个1分,综上所述1分)

(3)不妨设x1>x2>0.

因为f(x1)=f(x2)=0,所以lnx1﹣mx1=0,lnx2﹣mx2=0,

可得lnx1+lnx2=m(x1+x2),lnx1﹣lnx2=m(x1﹣x2).

要证明x1x2>e2,即证明lnx1+lnx2>2,也就是m(x1+x2)>2.

因为m= ,所以即证明 > ,

即ln > .令 =t,则t>1,于是lnt> .

令 (t)=lnt﹣ (t>1),则 ′(t)= ﹣ = >0.

故函数 (t)在(1,+∞)上是增函数,

所以 (t)> (1)=0,即lnt> 成立.所以原不等式成立.…(12分)

请考生在第22~24三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分.

22、证明:(Ⅰ) ,所以在 中, 在 中, 所以 ……………………………….5分

(Ⅱ)在 中, ,由①得 ∽ ,∴ ,

∴ ,所以CD2=CF?CP。………………….10分

23. 解:(Ⅰ) ,则 的参数方程为:

为参数),代入 得 ,

…………6分

(Ⅱ) . ……….10分

24. 解:(Ⅰ) 时, ,……(2分)

∴当 时, 不合题意;……(3分)

当 时, ,解得 ;……(4分)

当 时, 符合题意.……(5分)

综上, 的解集为 .……(6分)

(Ⅱ)设 , 的图象和 的图象如图:……(8分)

易知 的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与 的图象始终有3个交点,从而 .……(10分)

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