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本文题目：高三数学下册4月月考调研考试试题

数学Ⅰ

各位考生请注意：

1. 本试卷包括试题纸和答题纸两部分.

2. 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题.

一、填空题(本大题满分70分)本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 设 为虚数单位，计算 .

2. 幂函数 的图象过点 ，则 的值______________.

3. 已知 =

4. 在直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个球，其最大半径为r，若该直三棱柱的六个顶点在半径为R的同一球面上，且AC=CB=1， = 。

5. 若直线 平行，则 _____.

6.已知 ，那么 .

7.若实数 满足对任意正数 ，均有 ，则 的取值范围是 .

8. 已知椭圆 的右顶点为 ，过其焦点且垂直长轴的弦长为 .则椭圆方程为 .

9.若直线 与抛物线 仅有一个公共点，则实数 .

10.如图，若框图所给的程序运行的输出结果为 ，那么判断框 中应填入的关于 的判断条件是 .

11.已知全集 ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合 ，则满足 的集合A的个数是 .(用数字作答)

12.已知向量 =(1，0)， =(0，1)，向量 满足( ，则| |的最大值是 .

13.已知函数 ，若对任意的 ，都有 ，则 的最小值为 .

14. 设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， ，若以 为斜边的等腰直角三角形 的直角边的中点在双曲线上，则 等于 .

二、解答题

15.(本题满分14分)

已知函数 .

(1)若 ，求 的值;

(2)求 的最大值和最小值.

16. (本题满分14分)

如图，在三棱锥S—ABC中，SC 平面ABC，M、N分别是SB和SC的中点，设MN=AC=1， ，直线AM与直线SC所成的角为

(I)求证：平面AMN 平面SAC;

(II)求二面角M—AB—C的平面角的余弦值;

(III)求AN和CM所成角的余弦值。

17. (本题满分14分)

已知函数 .

(1)写出一个奇函数 和一个偶函数 ，使 = + ;

(2)对(1)中的 . 命题P：函数 在区间 上是增函数;命题Q：函数 是减函数;如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求 的取值范围;

(3)在(2)的条件下，求 的取值范围.

18. (本题满分16分)

设 是等差数列， 是各项都为正数的等比数列，且 ， .

(1)求 ， 的通项公式;

(2)记 ， ， 为数列 的前 项和，当 为多少时 取得最大值或最小值?

(3)是否存在正数 ，使得 对一切 均成立，若存在，求出 的最大值，若不存在，说明理由.

19. (本题满分16分)

如图，某新建小区有一片边长为1(单位：百米)的正方形剩余地块ABCD，中间部分MNK是一片池塘，池塘的边缘曲线段MN为函数 的图象，另外的边缘是平行于正方形两边的直线段。为了美化该地块，计划修一条穿越该地块的直路 (宽度不计)，直路 与曲线段MN相切(切点记为P)，并把该地块分为两部分。记点P到边AD距离为 ， 表示该地块在直路 左下部分的面积。

(1)求 的解析式;

(2)求面积 的最大值。

20. (本题满分16分)

设常数 ，对 ， 是平面上任意一点，定义运算“ ”： ， ， .

(1)若 ，求动点 的轨迹C;

(2)计算 和 ，并说明其几何意义;

(3)在(1)中的轨迹C中，是否存在两点 ，使之满足 且 ?若存在，求出 的取值范围，并请求出 的值;若不存在，请说明理由.

江苏省启东中学2012届高三4月月考

数学参考答案及评分标准

1. ; 2. ; 3. -24/7; 4. 1; 5. -1;

6. ; 7. ;8.

9.0， ; 10. k≤ 10;或k<11;或k=10;11. 56;

12. ; 13. 2 ;14. = 。

15. 解：(1) …………3分

…………………………………………………2分

…………………………………………………………2分

(2)因为： ，……………………………………4分

所以，当 时， ;…………………………………………………………………2分

当 时， …………………………………………………………………………2分

16.

17. 解：

(1) ，…………2分 ; ;……………………………2分

(2)由函数 在区间 上是增函数得 ，解得

，…………………………………………………………………………………………2分

由函数 是减函数得 ，解得 ，………………………………………………………1分

再由命题P、Q有且仅有一个是真命题，得 的取值范围是 .……3分

(3) ,……………………………………………………2分

因为在 上递增，所以 ，即： .………………………………………………………………………………………3分

18. 解：

(1)设 的公差为 ， 的公比为 ，则依题意有 且

解得 ， . …………………………………………………………………………2分

所以 ， .…………………………………………2分

(2)因为 ，所以，当 时， ，当 时， .……………………………………………………………………………………2分

所以当 时， 取得最小值. ……………………………………………………2分

(3) 等价于 ，

其中 ;……………………………………2分

因为:

显然成立，所以 是递增的。……………4分

从而 . …………………………………………………………2分

或因为： ，所以： 是递增的。………………………4分; 从而 .………………………………2分

19.解：(1)因为 ，所以 ，

所以过点 的切线方程为 ，即 ，……2分

令 ，得 ，令 ，得 .

所以切线与 轴交点 ，切线与 轴交点 .………………4分

①当 即 时，切线左下方的区域为一直角三角形，

所以 .………………………………………………6分

②当 即 时，切线左下方的区域为一直角梯形，

，……………………………………………8分

③当 即 时,切线左下方的区域为一直角梯形,

所以 .

综上 …………………………………………10分

(2)当 时, ，……………………12分

当 时, ，………………………14分

所以 .…………………………………………………………………16分

20. 解：(1)由 …………………………2分

可知： ，所以轨迹C为抛物线 在第一象限内的部分，包括原点;………………………………………………………………………………………………2分

(2) ，…………………………………………2分

， ………………………………………………………………………2分

分别表示P点到原点和到直线 的距离;……………………………………………………………2分

(3)设若存在为 ，则由 且 得 ，即 ， 即 ，

所以 的两个根.………………………………………2分

要使 存在，必须 ，即 ，所以必须 .…………2分

当 时，由于

，即 .…………………………………2分

或设 ，由

得 介于 之间，即 .……………………………………………2分

所以 = =

= = 。…………………………………………………………2分

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