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高三数学下学期试题:数列章末检测题

编辑:sx_xingt

2013-03-22

【摘要】鉴于大家对精品学习网十分关注,小编在此为大家整理了此文高三数学下学期试题:数列章末检测题”,供大家参考!

本文题目:高三数学下学期试题:数列章末检测题

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知{an}为等差数列,若a3+a4+a8=9,则S9=(  )

A.24 B.27

C.15 D.54

解析 B 由a3+a4+a8=9,得3(a1+4d)=9,即a5=3.则S9=9a1+a92=9a5=27.

2.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为(  )

A.14 B.15

C.16 D.17

解析 C ∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9-13a11=(a8+d)

-13(a8+3d)=23a8=16.

3.已知{an}是由正数组成的等比数列,Sn表示{an}的前n项的和,若a1=3,a2a4=144,则S5的值是(  )

A.692 B.69

C.93 D.189

解析 C 由a2a4=a23=144得a3=12(a3=-12舍去),又a1=3,各项均为正数,则

q=2.所以S5=a11-q51-q=3×1-321-2=93.

4.在数列1,2,7,10,13,4,…中,219是这个数列的第几项(  )

A.16 B.24

C.26 D.28

解析 C 因为a1=1=1,a2=2=4,a3=7,a4=10,a5=13,a6=4=16,…,

所以an=3n-2.令an=3n-2=219=76,得n=26.故选C.

5.已知等差数列的前n项和为Sn,若S13<0,S12>0,则在数列中绝对值最小的项为(  )

A.第5项 B.第6项

C.第7项 D.第8项

解析 C ∵S13<0,∴a1+a13=2a7<0,又S12>0,

∴a1+a12=a6+a7>0,∴a6>0,且|a6|>|a7|.故选C.

6.122-1+132-1+142-1+…+1n+12-1的值为(  )

A.n+12n+2 B.34-n+12n+2

C.34-121n+1+1n+2 D.32-1n+1+1n+2

解析 C ∵1n+12-1=1n2+2n=1nn+2=121n-1n+2,

∴Sn=121-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2

=1232-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+2.

7.正项等比数列{an}中,若log2(a2a98)=4,则a40a60等于(  )

A.-16 B.10

C.16 D.256

解析 C 由log2(a2a98)=4,得a2a98=24=16,

则a40a60=a2a98=16.

8.设f(n)=2+24+27+210+…+23n+10(n∈N),则f(n)=(  )

A.27(8n-1) B.27(8n+1-1)

C.27(8n+3-1) D.27(8n+4-1)

解析 D ∵数列1,4,7,10,…,3n+10共有n+4项,∴f(n)=2[1-23n+4]1-23=27(8n+4-1).

9.△ABC中,tan A是以-4为第三项,-1为第七项的等差数列的公差,tan B是以12为

第三项,4为第六项的等比数列的公比,则该三角形的形状是(  )

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.等腰直角三角形 D.以上均错

解析 B 由题意 知,tan A=-1--47-3=34>0.

又∵tan3B=412=8,∴tan B=2>0, ∴A、B均为锐角.

又∵tan(A+B)=34+21-34×2=-112<0,∴A+B为钝角,即C为锐角,

∴△ABC为锐角三角形.

10.在等差数列{an}中,前n项和为Sn=nm,前m项和Sm=mn,其中m≠n,则Sm+n的值(  )

A.大于4 B.等于4

C.小于4 D.大于2且小于4

解析 A 由题意可设Sk=ak2+bk(其中k为正整数),

则an2+bn=nm,am2+bm=mn,解得a=1mn,b=0,∴Sk=k2mn,

∴Sm+n=m+n2mn>4mnmn=4.

11.等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),若当首项a1

和公差d变化时,a5+a8+ a11是一个定值,则下列选项中为定值的是(  )

A.S17 B.S18

C.S15 D.S14

解析 C 由a5+a8+a11=3a1+21d=3(a1+7d)=3a8是定值,可知a8是定值.所以

S15=15a1+a152=15a8是定值.

12.数列{an}的通项公式an=1nn+1,其前n项和为910,则在平面直角坐标系中,直线

(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为(  )

A.-10 B.-9

C.10 D.9

解析 B ∵an=1n-1n+1, ∴Sn=1-12+12-13+…+1n-1n+1=nn+1,

由nn+1=910,得n=9,∴直线方程为10x+y+9=0,其在y轴上的截距为-9.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)[

13.设Sn是等差 数列{an}(n∈N*)的前n项和,且a1=1,a4=7,则S5=________.

解析 ∵a1=1,a4=7,∴d=7-14-1=2.

∴S5=5a1+5×5-12d=5×1+5×42×2=25.

【答案】 25

14.若数列{an}满足关系a1=3,an+1=2an+1,则该数列的通项公式为________.

解析 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),

∴数列{an+1}是首项为4,公比为2的等比数列,

∴an+1=4•2n-1,∴an=2n+1-1.

【答案】 an=2n+1-1

15.(20 11•北京高考)在等比数列{an}中,若a1=12,a4=-4,则公比q=________;|a1|+|a2|+…+|an|=________.

解析 ∵数列{an}为等比数列,

∴a4=12•q3=-4,q=-2;an=12•(-2)n-1, |an|=12•2n-1,

由等比数列前n项和公式得 |a1|+|a2|+…+|an|=121-2n1-2=-12+12•2n=2n-1-12.

【答案】 -2 2n-1-12

16.给定:an=logn+1(n+2)(n∈N*),定义使a1•a2•…•ak为整数的数k(k∈N*)叫做数列{an}的“ 企盼数”,则区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和M=________.

解析 设a1•a2•…•ak=log23•log34•…•logk(k+1)•logk+1(k+2)=log2(k+2)为整数m,

则k+2=2m,

∴k=2m-2.

又1≤k≤2 013,

∴1≤2m-2≤2 013,

∴2≤m≤10.

∴区间[1,2 013]内所有“企盼数”的和为

M=(22-2)+(23-2)+…+(210-2)

=(22+23+…+210)-18

=22×1-291-2-18

=2 026.

【答案】 2 026

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知等差数列{an}的前三项为a,4,3a,前k项的和Sk=2 550,求通项公式an及k的值.

解析 法一:由题意知,

a1=a,a2=4,a3=3a,Sk=2 550.

∵数列{an}是等差数列,

∴a+3a=2×4,

∴a1=a=2,公差d=a2-a1=2,

∴an=2+2(n-1)=2n.

又∵Sk=ka1+kk-12•d,

即k•2+kk-12•2=2 550,整理,

得k2+k-2 550=0,

解得k1=50, k2=-51(舍去),

∴an=2n,k=50.

法二:由法一,得a1=a=2,d=2,

∴an=2+2(n-1)=2n,

∴Sn=na1+an2=n2+2n2=n 2+n.

又∵Sk=2 550,

∴k2+k=2 550,

即k2+k-2 550=0,

解得k=50(k=-51舍去).

∴an=2n,k=50.

18.(12分)(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n,求数列{an}的通项公式;新课标

(2)已知数列{an}的前n项和为Sn=3+2n,求an.

解析 (1)n=1时,a1=S1=1.

当n≥2时,

an=Sn-Sn-1

=3n2-2n-3(n-1)2+2(n-1)

= 6n-5,

因为a1也适合上式,

所以通项公式为an=6n-5.

(2)当n=1时,a1=S1=3+2=5.

当n≥2时,

an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-2n-1=2n-1.

因为n=1时,不符合an=2n-1,

所以数列{an}的通项公式为

an=5,  n=1,2n-1, n≥2.

19.(12分)有10台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.若同时投入至收割完毕需用24小时,但现在它们是每隔相同的时间依次投入工作的,每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍.求用这种收割方法收割完这片土地上的庄稼需用多长时间?

解析 设从第一台投入工作起,这10台收割机工作的时间依次为a1,a2,a3,…,a10小时,依题意,{an}组成一个等差数列,每台收割机每小时工作效率是1240,且有

a1240+a2240+…+a10240=1,    ①a1=5a10, ②

由①得,a1+a2+…+a10=240.

∵数列{an}是等差数列,

∴a1+a10×102=240,即a1+a10=48.③

将②③联立,解得a1=40(小时),即用这种方 法收割完这片土地上的庄稼共需40小时.

20.(12分)已知数列{an}满足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1.

(1)求证:{an+1+2an}是等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式;

(3)设3nbn=n(3n-an),求|b1|+|b2|+…+|bn|.

解析 (1)∵an+1=an+6an-1,

∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1).

又a1=5,a2=5,

∴a2+2a1=15,

∴an+an+1≠0,

∴an+1+2anan+2an-1=3,

∴数列{an+1+2an}是以15为首项,

3为公比的等比数列.

(2)由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n,

即an+1=-2an+5×3n,

∴an+1-3n+1=-2(an-3n).

又∵a1-3=2,

∴an-3n≠0,

∴{an-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.

∴an-3n=2×(-2)n-1,

即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).

(3)由(2)及3nbn= n(3n-an),可得

3nbn=-n(an-3n)=-n[2×(-2)n-1]=n(-2)n,

∴bn=n-23n,

∴|bn|=n23n.

∴Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|

=23+2×232+…+n×23n,①

①×23,得

23Tn=232+2×233+…+(n-1)×23n+n×23n+1,②

①-②得

13Tn=23+232+…+23n-n×23n+1

=2-3×23n+1-n23n+1

=2-(n+3)23n+1,

∴Tn=6-2(n+3)23n.

21.(12分)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)•f(y)且f(1)=12.

(1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;

(2)设an=n•f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+an<2;

(3)设bn=(9-n)fn+1fn,n∈N*,Sn为{bn}的前n项和,当Sn最大时,求n的值.

解析 (1)令x=n,y=1,

得f(n+1)=f(n)•f(1)=12f(n),

∴{f(n)}是首项为12,公比为12的等比数列,

即f(n)=12n.

(2)设Tn为{an}的前n项和,

∵an=n•f(n)=n•12n,

∴Tn=12+2×122+3×123+…+n×12n,

12Tn=122+2×123+3×124+…+(n-1)×12n+n×12n+1,

两式相减得

12Tn=12+122+…+12n-n×12n+1,

整理,得Tn=2-12n-1-n×12n<2.

(3)∵f(n)=12n,

∴bn=(9-n)fn+1fn

=(9-n)12n+112n=9-n2,

∴当n≤8时,bn>0;当n=9时,bn=0;

当n>9时,bn<0.

∴当n=8或9时,Sn取到最大值.

22. (12分)设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3(n∈N*) .

(1)求数列{an}的通项;

(2)设bn=nan,求数列{bn}的前n项和Sn.

解析 (1)∵a1+3a2+32a3+…+3n-1an=n3,①

∴a1=13,

a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=n-13(n≥2),②

①-②得3n-1an=n3-n-13=13(n≥2),

化简得an=13n(n≥2).

显然a1=13也满足上式,故an=13n(n∈N*).

(2)由①得bn=n•3n.

于是Sn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n,③

3Sn=1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1,④

③-④得-2Sn=3+32+33+…+3n-n•3n+1,

即-2Sn=3-3n+11-3-n•3n+1,

Sn=n2•3n+1-14•3n+1+34.

【总结】2013年精品学习网为小编在此为您收集了此文章“高三数学下学期试题:数列章末检测题”,今后还会发布更多更好的文章希望对大家有所帮助,祝您在精品学习网学习愉快!

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