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本文题目：高三数学复习教案：高考数学函数复习教案

【知识导读】

【方法点拨】

函数是中学数学中最重要，最基础的内容之一，是学习高等数学的基础.高中函数以具体的幂函数，指数函数，对数函数和三角函数的概念，性质和图像为主要研究对象，适当研究分段函数，含绝对值的函数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解.

1.活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础，是解题的基本出发点.利用定义，可直接判断所给的对应是否满足函数的条件，证明或判断函数的单调性和奇偶性等.

2.重视“数形结合思想”渗透.“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.当你所研究的问题较为抽象时，当你的思维陷入困境时，当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时，一个很好的建议：画个图像!利用图形的直观性，可迅速地破解问题，乃至最终解决问题.

3.强化“分类讨论思想”应用.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”.

4.掌握“函数与方程思想”.函数与方程思想是最重要，最基本的数学思想方法之一，它在整个高中数学中的地位与作用很高.函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题，转化问题和解决问题.

第1课 函数的概念

【考点导读】

1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上，通过集合与对应的语言刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数.

【基础练习】

1.设有函数组：① ， ;② ， ;③ ， ;④ ， ;⑤ ， .其中表示同一个函数的有___②④⑤___.

2.设集合 ， ，从 到 有四种对应如图所示：

其中能表示为 到 的函数关系的有_____②③____.

3.写出下列函数定义域：

(1) 的定义域为______________; (2) 的定义域为______________;

(3) 的定义域为______________; (4) 的定义域为_________________.

4.已知三个函数:(1) ; (2) ; (3) .写出使各函数式有意义时， ， 的约束条件：

(1)______________________; (2)______________________; (3)______________________________.

5.写出下列函数值域：

(1) ， ;值域是 .

(2) ; 值域是 .

(3) ， . 值域是 .

【范例解析】

例1.设有函数组：① ， ;② ， ;

③ ， ;④ ， .其中表示同一个函数的有③④.

分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同.

解：在①中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数;在②中， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故不是同一函数;③④是同一函数.

点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数.而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可.

例2.求下列函数的定义域：① ; ② ;

解：(1)① 由题意得： 解得 且 或 且 ，

故定义域为 .

② 由题意得： ，解得 ，故定义域为 .

例3.求下列函数的值域：

(1) ， ;

(2) ;

(3) .

分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域.

(1) 解： ， ， 函数的值域为 ;

(2) 解法一：由 ， ，则 ， ，故函数值域为 .

解法二：由 ，则 ， ， ， ，故函数值域为 .

(3)解：令 ，则 ， ，

当 时， ，故函数值域为 .

点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法;逆求法利用函数有界性求函数的值域;用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围.

【反馈演练】

1.函数f(x)= 的定义域是___________.

2.函数 的定义域为_________________.

3. 函数 的值域为________________.

4. 函数 的值域为_____________.

5.函数 的定义域为_____________________.

6.记函数f(x)= 的定义域为A，g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为B.

(1) 求A;

(2) 若B A，求实数a的取值范围.

解：(1)由2- ≥0，得 ≥0，x<-1或x≥1， 即A=(-∞，-1)∪[1，+ ∞) .

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0，得(x-a-1)(x-2a)<0.

∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) .

∵B A， ∴2a≥1或a+1≤-1，即a≥ 或a≤-2，而a<1，

∴ ≤a<1或a≤-2，故当B A时， 实数a的取值范围是(-∞,-2]∪[ ,1).

第2课 函数的表示方法

【考点导读】

1.会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法，列表法，解析法)表示函数.

2.求解析式一般有四种情况：(1)根据某个实际问题须建立一种函数关系式;(2)给出函数特征，利用待定系数法求解析式;(3)换元法求解析式;(4)解方程组法求解析式.

【基础练习】

1.设函数 ， ，则 _________; __________.

2.设函数 ， ,则 _____3_______; ; .

3.已知函数 是一次函数，且 ， ,则 __15___.

4.设f(x)= ，则f[f( )]=_____________.

5.如图所示的图象所表示的函数解析式为__________________________.

【范例解析】

例1.已知二次函数 的最小值等于4，且 ，求 的解析式.

分析：给出函数特征，可用待定系数法求解.

解法一：设 ，则 解得

故所求的解析式为 .

解法二： ， 抛物线 有对称轴 .故可设 .

将点 代入解得 .故所求的解析式为 .

解法三：设 ，由 ，知 有两个根0，2，

可设 ， ，

将点 代入解得 .故所求的解析式为 .

点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种形式：一般式，顶点式，零点式.

例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家.如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分)的关系.试写出 的函数解析式.

分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式.

解：当 时，直线方程为 ，当 时，直线方程为 ，

点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达.要注意求出解析式后，一定要写出其定义域.

【反馈演练】

1.若 ， ，则 ( D )

A. 　　　　　B. 　　　　C. 　　D.

2.已知 ，且 ，则m等于________.

3. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)=x2+2x.求函数g(x)的解析式.

解：设函数 的图象上任意一点 关于原点的对称点为 ，

则

∵点 在函数 的图象上

第3课 函数的单调性

【考点导读】

1.理解函数单调性，最大(小)值及其几何意义;

2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性.

【基础练习】

1.下列函数中：

① ; ② ; ③ ; ④ .

其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有___②___.

2.函数 的递增区间是___ R ___.

3.函数 的递减区间是__________.

4.已知函数 在定义域R上是单调减函数，且 ，则实数a的取值范围__________.

5.已知下列命题：

①定义在 上的函数 满足 ，则函数 是 上的增函数;

②定义在 上的函数 满足 ，则函数 在 上不是减函数;

③定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数;

④定义在 上的函数 在区间 上是增函数，在区间 上也是增函数，则函数 在 上是增函数.

其中正确命题的序号有_____②______.

【范例解析】

例 . 求证：(1)函数 在区间 上是单调递增函数;

(2)函数 在区间 和 上都是单调递增函数.

分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号的确定.

证明：(1)对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

因为

，

又 ，则 ， ，得 ，

故 ，即 ，即 .

所以，函数 在区间 上是单调增函数.

(2)对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

因为 ，

又 ，则 ， ， 得，

故 ，即 ，即 .

所以，函数 在区间 上是单调增函数.

同理，对于区间 ，函数 是单调增函数;

所以，函数 在区间 和 上都是单调增函数.

点评：利用单调性定义证明函数的单调性，一般分三步骤：(1)在给定区间内任意取两值 ， ;(2)作差 ，化成因式的乘积并判断符号;(3)给出结论.

例2.确定函数 的单调性.

分析：作差后，符号的确定是关键.

解：由 ，得定义域为 .对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

则

又 ， ，

，即 .

所以， 在区间 上是增函数.

点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号的确定.

【反馈演练】

1.已知函数 ，则该函数在 上单调递__减__，(填“增”“减”)值域为_________.

2.已知函数 在 上是减函数，在 上是增函数，则 __25___.

3. 函数 的单调递增区间为 .

4. 函数 的单调递减区间为 .

5. 已知函数 在区间 上是增函数，求实数a的取值范围.

解：设对于区间 内的任意两个值 ， ，且 ，

则 ，

， ， 得， ， ，即 .

第4课 函数的奇偶性

【考点导读】

1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性;

2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件;不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数.

【基础练习】

1.给出4个函数：① ;② ;③ ;④ .

其中奇函数的有___①④___;偶函数的有____②____;既不是奇函数也不是偶函数的有____③____.

2. 设函数 为奇函数，则实数 -1 .

3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A )

A. B. C. D.

【范例解析】

例1.判断下列函数的奇偶性：

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6)

分析：判断函数的奇偶性，先看定义域是否关于原点对称，再利用定义判断.

解：(1)定义域为 ，关于原点对称; ,

所以 为偶函数.

(2)定义域为 ，关于原点对称; ，

，故 为奇函数.

(3)定义域为 ，关于原点对称; ， 且 ，

所以 既为奇函数又为偶函数.

(4)定义域为 ，不关于原点对称;故 既不是奇函数也不是偶函数.

(5)定义域为 ，关于原点对称; ， ，则 且 ，故 既不是奇函数也不是偶函数.

(6)定义域为 ，关于原点对称;

， 又 ，

，故 为奇函数.

点评：判断函数的奇偶性，应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次，利用定义即 或 判断，注意定义的等价形式 或 .

例2. 已知定义在 上的函数 是奇函数，且当 时， ，求函数 的解析式，并指出它的单调区间.

分析：奇函数若在原点有定义，则 .

解：设 ，则 ， .

又 是奇函数， ， .

当 时， .

综上， 的解析式为 .

作出 的图像，可得增区间为 ， ，减区间为 ， .

点评：(1)求解析式时 的情况不能漏;(2)两个单调区间之间一般不用“ ”连接;(3)利用奇偶性求解析式一般是通过“ ”实现转化;(4)根据图像写单调区间.

【反馈演练】

1.已知定义域为R的函数 在区间 上为减函数，且函数 为偶函数，则( D )

A. B. C. D.

2. 在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 是减函数，则函数 ( B )

A.在区间 上是增函数，区间 上是增函数

B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数

C.在区间 上是减函数，区间 上是增函数

D.在区间 上是减函数，区间 上是减函数

3. 设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 的值为____1，3 ___.

4.设函数 为奇函数， 则 ________.

5.若函数 是定义在R上的偶函数，在 上是减函数，且 ，则使得 的x的取

值范围是(-2，2).

6. 已知函数 是奇函数.又 ， ,求a，b，c的值;

解：由 ，得 ，得 .又 ，得 ，

而 ，得 ，解得 .又 ， 或1.

若 ，则 ，应舍去;若 ，则 .

所以， .

综上，可知 的值域为 .

第5 课 函数的图像

【考点导读】

1.掌握基本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质;

2.掌握画图像的基本方法：描点法和图像变换法.

【基础练习】

1.根据下列各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：

(1) ;

(2) .

2.作出下列各个函数图像的示意图：

(1) ; (2) ; (3) .

解：(1)将 的图像向下平移1个单位，可得 的图像.图略;

(2)将 的图像向右平移2个单位，可得 的图像.图略;

(3)由 ，将 的图像先向右平移1个单位，得 的图像，再向下平移1个单位，可得 的图像.如下图所示：

3.作出下列各个函数图像的示意图：

(1) ; (2) ; (3) ; (4) .

解：(1)作 的图像关于y轴的对称图像，如图1所示;

(2)作 的图像关于x轴的对称图像，如图2所示;

(3)作 的图像及它关于y轴的对称图像，如图3所示;

(4)作 的图像，并将x轴下方的部分翻折到x轴上方，如图4所示.

4. 函数 的图象是 ( B )

【范例解析】

例1.作出函数 及 ， ， ， ， 的图像.

分析：根据图像变换得到相应函数的图像.

解： 与 的图像关于y轴对称;

与 的图像关于x轴对称;

将 的图像向左平移2个单位得到 的图像;

保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分;

将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分.图略.

点评：图像变换的类型主要有平移变换，对称变换两种.平移变换：左“+”右“-”，上“+”下“-”;对称变换： 与 的图像关于y轴对称;

与 的图像关于x轴对称; 与 的图像关于原点对称;

保留 的图像在x轴上方的部分，将x轴下方的部分关于x轴翻折上去，并去掉原下方的部分;

将 的图像在y轴右边的部分沿y轴翻折到y轴的左边部分替代原y轴左边部分，并保留 在y轴右边部分.

例2.设函数 .

(1)在区间 上画出函数 的图像;

(2)设集合 . 试判断集合 和 之间的关系，并给出证明.

分析：根据图像变换得到 的图像，第(3)问实质是恒成立问题.

解：(1)

(2)方程 的解分别是 和 ，由于 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，因此 .

由于 .

【反馈演练】

1.函数 的图象是( B )

2. 为了得到函数 的图象，可以把函数 的图象向右平移1个单位长度得到.

3.已知函数 的图象有公共点A，且点A的横坐标为2，则 = .

4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f (x)的图象关于直线 对称，则

f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ .

5. 作出下列函数的简图：

(1) ; (2) ; (3) .

第6课 二次函数

【考点导读】

1.理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像和性质;

2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系.

【基础练习】

1. 已知二次函数 ,则其图像的开口向__上__;对称轴方程为 ;顶点坐标为 ，与 轴的交点坐标为 ，最小值为 .

2. 二次函数 的图像的对称轴为 ,则 __-2___，顶点坐标为 ，递增区间为 ，递减区间为 .

3. 函数 的零点为 .

4. 实系数方程 两实根异号的充要条件为 ;有两正根的充要条件为 ;有两负根的充要条件为 .

5. 已知函数 在区间 上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________.

【范例解析】

例1.设 为实数，函数 ， .

(1)讨论 的奇偶性;

(2)若 时，求 的最小值.

分析：去绝对值.

解：(1)当 时，函数

此时， 为偶函数.

当 时， ， ，

， .

此时 既不是奇函数，也不是偶函数.

(2)

由于 在 上的最小值为 ，在 内的最小值为 .

故函数 在 内的最小值为 .

点评：注意分类讨论;分段函数求最值，先求每个区间上的函数最值，再确定最值中的最值.

例2.函数 在区间 的最大值记为 ，求 的表达式.

分析：二次函数在给定区间上求最值，重点研究其在所给区间上的单调性情况.

解：∵直线 是抛物线 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：

(1)当 时，函数 ， 的图象是开口向上的抛物线的一段，

由 知 在 上单调递增，故 ;

(2)当 时， ， ，有 =2;

(3)当 时，，函数 ， 的图象是开口向下的抛物线的一段，

若 即 时， ，

若 即 时， ，

若 即 时， .

综上所述，有 = .

点评：解答本题应注意两点：一是对 时不能遗漏;二是对 时的分类讨论中应同时考察抛物线的开口方向，对称轴的位置及 在区间 上的单调性.

【反馈演练】

1.函数 是单调函数的充要条件是 .

2.已知二次函数的图像顶点为 ，且图像在 轴上截得的线段长为8，则此二次函数的解析式为 .

3. 设 ，二次函数 的图象为下列四图之一：

则a的值为 ( B )

A.1 B.-1 C. D.

4.若不等式 对于一切 成立，则a的取值范围是 .

5.若关于x的方程 在 有解，则实数m的取值范围是 .

6.已知函数 在 有最小值，记作 .

(1)求 的表达式;

(2)求 的最大值.

解：(1)由 知对称轴方程为 ，

当 时，即 时， ;

当 ，即 时， ;

当 ，即 时， ;

综上， .

(2)当 时， ;当 时， ;当 时， .故当 时， 的最大值为3.

7. 分别根据下列条件,求实数a的值：

(1)函数 在在 上有最大值2;

(2)函数 在在 上有最大值4.

解：(1)当 时， ，令 ，则 ;

当 时， ，令 ， (舍);

当 时， ，即 .

综上，可得 或 .

(2)当 时， ，即 ，则 ;

当 时， ，即 ，则 .

综上， 或 .

8. 已知函数 .

(1)对任意 ，比较 与 的大小;

(2)若 时，有 ，求实数a的取值范围.

解：(1)对任意 ， ，

故 .

(2)又 ，得 ，即 ，