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本文题目：高三数学教案：圆锥曲线复习教案

90题突破高中数学圆锥曲线

1.如图，已知直线L： 的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，点A、B在直线 上的射影依次为点D、E。

(1)若抛物线 的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程;

(2)(理)连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N?若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明;否则说明理由。

(文)若 为x轴上一点,求证:

2.如图所示，已知圆 定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 ，点N的轨迹为曲线E。

(1)求曲线E的方程;

(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足 的取值范围。

3.设椭圆C： 的左焦点为F，上顶点为A，过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P，交x轴正半轴于点Q， 且

⑴求椭圆C的离心率;

⑵若过A、Q、F三点的圆恰好与直线

l： 相切，求椭圆C的方程.

4.设椭圆 的离心率为e=

(1)椭圆的左、右焦点分别为F1、F2、A是椭圆上的一点，且点A到此两焦点的距离之和为4,求椭圆的方程.

(2)求b为何值时，过圆x2+y2=t2上一点M(2， )处的切线交椭圆于Q1、Q2两点，而且OQ1⊥OQ2.

5.已知曲线 上任意一点P到两个定点F1(- ，0)和F2( ，0)的距离之和为4.

(1)求曲线 的方程;

(2)设过(0，-2)的直线 与曲线 交于C、D两点，且 为坐标原点)，求直线 的方程.

6.已知椭圆 的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B.过F、B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为(m，n).

(Ⅰ)当m+n>0时，求椭圆离心率的范围;

(Ⅱ)直线AB与⊙P能否相切?证明你的结论.

7.有如下结论：“圆 上一点 处的切线方程为 ”，类比也有结论：“椭圆 处的切线方程为 ”，过椭圆C： 的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线，切点为 A、B.

(1)求证：直线AB恒过一定点;(2)当点M在的纵坐标为1时，求△ABM的面积

8.已知点P(4，4)，圆C： 与椭圆E： 有一个公共点A(3，1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切.

(Ⅰ)求m的值与椭圆E的方程;

(Ⅱ)设Q为椭圆E上的一个动点，求 的取值范围.

9.椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为 ，右焦点 与点 的距离为 。

(1)求椭圆的方程;

(2)是否存在斜率 的直线 ： ，使直线 与椭圆相交于不同的两点 满足 ，若存在，求直线 的倾斜角 ;若不存在，说明理由。

10.椭圆方程为 的一个顶点为 ，离心率 。

(1)求椭圆的方程;

(2)直线 ： 与椭圆相交于不同的两点 满足 ，求 。

11.已知椭圆 的左焦点为F，左右顶点分别为A,C上顶点为B，过F,B,C三点作 ，其中圆心P的坐标为 .

(1) 若椭圆的离心率 ，求 的方程;

(2)若 的圆心在直线 上，求椭圆的方程.

12.已知直线 与曲线 交于不同的两点 ， 为坐标原点.

(Ⅰ)若 ，求证：曲线 是一个圆;

(Ⅱ)若 ，当 且 时，求曲线 的离心率 的取值范围.

13.设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，A是椭圆C上的一点，且 ，坐标原点O到直线 的距离为 .

(1)求椭圆C的方程;

(2)设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点 ，较y轴于点M，若 ，求直线l的方程.

14.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点 的切线方程为 为常数).

(I)求抛物线方程;

(II)斜率为 的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为 的直线PB与抛物线的另一交点为B(A、B两点不同)，且满足 ，求证线段PM的中点在y轴上;

(III)在(II)的条件下，当 时，若P的坐标为(1，-1)，求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.

15.已知动点A、B分别在x轴、y轴上，且满足|AB|=2，点P在线段AB上，且

设点P的轨迹方程为c。

(1)求点P的轨迹方程C;

(2)若t=2，点M、N是C上关于原点对称的两个动点(M、N不在坐标轴上)，点Q

坐标为 求△QMN的面积S的最大值。

16.设 上的两点，

已知 ， ，若 且椭圆的离心率 短轴长为2， 为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)若直线AB过椭圆的焦点F(0，c)，(c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值;

(Ⅲ)试问：△AOB的面积是否为定值?如果是，请给予证明;如果不是，请说明理由

17.如图，F是椭圆 (a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为 .点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1： 相切.

(Ⅰ)求椭圆的方程：

(Ⅱ)过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，且 ，求直线l2的方程.

18.如图，椭圆长轴端点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且 .

(1)求椭圆的标准方程;

(2)记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心?若存在，求出直线 的方程;若不存在，请说明理由.

19.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 . 直线 交椭圆于 两不同的点.

20.设 ，点 在 轴上，点 在 轴上，且

(1)当点 在 轴上运动时，求点 的轨迹 的方程;

(2)设 是曲线 上的点，且 成等差数列，当 的垂直平分线与 轴交于点 时，求 点坐标.

21.已知点 是平面上一动点，且满足

(1)求点 的轨迹 对应的方程;

(2)已知点 在曲线 上，过点 作曲线 的两条弦 和 ，且 ，判断：直线 是否过定点?试证明你的结论.

22.已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点.

(1)求椭圆 的方程：

(2)若点D为椭圆 上不同于 、 的任意一点， ，当 内切圆的面积最大时。求内切圆圆心的坐标;

(3)若直线 与椭圆 交于 、 两点，证明直线 与直线 的交点在直线 上.

23.过直角坐标平面 中的抛物线 的焦点 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于A，B两点。

(1)用 表示A，B之间的距离;

(2)证明： 的大小是与 无关的定值，

并求出这个值。

24.设 分别是椭圆C： 的左右焦点

(1)设椭圆C上的点 到 两点距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标

(2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段 的中点B的轨迹方程

(3)设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，当直线PM ，PN的斜率都存在，并记为 试探究 的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论。

25.已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆 的方程;

(II)设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程;

(III)设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围.

26.如图所示，已知椭圆 ： ， 、 为

其左、右焦点， 为右顶点， 为左准线，过 的直线 ： 与椭圆相交于 、

两点，且有： ( 为椭圆的半焦距)

(1)求椭圆 的离心率 的最小值;

(2)若 ，求实数 的取值范围;

(3)若 , ，

求证： 、 两点的纵坐标之积为定值;

27.已知椭圆 的左焦点为 ，左右顶点分别为 ，上顶点为 ，过 三点作圆 ，其中圆心 的坐标为

(1)当 > 时，椭圆的离心率的取值范围

(2)直线 能否和圆 相切?证明你的结论

28.已知点A(-1，0)，B(1，-1)和抛物线. ，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

(I)证明: 为定值;

(II)若△POM的面积为 ，求向量 与 的夹角;

(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.

29.已知椭圆C： 上动点 到定点 ,其中 的距离 的最小值为1.

(1)请确定M点的坐标

(2)试问是否存在经过M点的直线 ,使 与椭圆C的两个交点A、B满足条件 (O为原点),若存在,求出 的方程,若不存在请说是理由。

30.已知椭圆 ，直线 与椭圆相交于 两点.

(Ⅰ)若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程;

(Ⅱ)在 轴上是否存在点 ，使 的值与 无关?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由.

31.直线AB过抛物线 的焦点F，并与其相交于A、B两点。Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点.O是坐标原点.

(I)求 的取值范围;

(Ⅱ)过 A、B两点分剐作此撒物线的切线，两切线相交于N点.求证： ∥ ;

(Ⅲ) 若P是不为1的正整数，当 ，△ABN的面积的取值范围为 时，求该抛物线的方程.

32.如图，设抛物线 ( )的准线与 轴交于 ，焦点为 ;以 、 为焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的一个交点为 .

(Ⅰ)当 时，求椭圆的方程及其右准线的方程;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，直线 经过椭圆 的右焦点 ，与抛物线 交于 、 ，如果以线段 为直径作圆，试判断点 与圆的位置关系，并说明理由;

(Ⅲ)是否存在实数 ，使得 的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数 ;若不存在，请说明理由.

33.已知点 和动点 满足： ,且存在正常数 ，使得 。

(1)求动点P的轨迹C的方程。

(2)设直线 与曲线C相交于两点E，F，且与y轴的交点为D。若 求 的值。

34.已知椭圆 的右准线 与 轴相交于点 ，右焦点 到上顶点的距离为 ，点 是线段 上的一个动点.

(I)求椭圆的方程;

(Ⅱ)是否存在过点 且与 轴不垂直的直线 与椭圆交于 、 两点,使得 ,并说明理由.

35.已知椭圆C： ( .

(1)若椭圆的长轴长为4，离心率为 ，求椭圆的标准方程;

(2)在(1)的条件下，设过定点 的直线 与椭圆C交于不同的两点 ，且 为锐角(其中 为坐标原点)，求直线 的斜率k的取值范围;

(3)如图，过原点 任意作两条互相垂直的直线与椭圆 ( )相交于 四点，设原点 到四边形 一边的距离为 ，试求 时 满足的条件.

36.已知 若过定点 、以 ( )为法向量的直线 与过点 以 为法向量的直线 相交于动点 .

(1)求直线 和 的方程;

(2)求直线 和 的斜率之积 的值，并证明必存在两个定点 使得 恒为定值;

(3)在(2)的条件下，若 是 上的两个动点，且 ，试问当 取最小值时，向量 与 是否平行，并说明理由。

37.已知点 ,点 (其中 )，直线 、 都是圆 的切线.

(Ⅰ)若 面积等于6，求过点 的抛物线 的方程;

(Ⅱ)若点 在 轴右边，求 面积的最小值.

38.我们知道，判断直线与圆的位置关系可以用圆心到直线的距离进行判别，那么直线与椭圆的位置关系有类似的判别方法吗?请同学们进行研究并完成下面问题。

(1)设F1、F2是椭圆 的两个焦点，点F1、F2到直线 的距离分别为d1、d2，试求d1•d2的值，并判断直线L与椭圆M的位置关系。

(2)设F1、F2是椭圆 的两个焦点，点F1、F2到直线

(m、n不同时为0)的距离分别为d1、d2，且直线L与椭圆M相切，试求d1•d2的值。

(3)试写出一个能判断直线与椭圆的位置关系的充要条件，并证明。

(4)将(3)中得出的结论类比到其它曲线，请同学们给出自己研究的有关结论(不必证明)。

39.已知点 为抛物线 的焦点，点 是准线 上的动点，直线 交抛物线 于 两点，若点 的纵坐标为 ，点 为准线 与 轴的交点.

(Ⅰ)求直线 的方程;(Ⅱ)求 的面积 范围;

(Ⅲ)设 ， ，求证 为定值.

40.已知椭圆 的离心率为 ，直线 : 与以原点为圆心、以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切.

(I)求椭圆 的方程;

(II)设椭圆 的左焦点为 ，右焦点 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程;

(III)设 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 求 的取值范围.

41.已知以向量 为方向向量的直线 过点 ，抛物线 ： 的顶点关于直线 的对称点在该抛物线的准线上.

(1)求抛物线 的方程;

(2)设 、 是抛物线 上的两个动点，过 作平行于 轴的直线 ，直线 与直线 交于点 ，若 ( 为坐标原点， 、 异于点 )，试求点 的轨迹方程。

42.如图，设抛物线 ( )的准线与 轴交于 ，焦点为 ;以 、 为焦点，离心率 的椭圆 与抛物线 在 轴上方的一个交点为 .

(Ⅰ)当 时，求椭圆的方程及其右准线的方程;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，直线 经过椭圆 的右焦点 ，

与抛物线 交于 、 ，如果以线段 为直径作圆，

试判断点 与圆的位置关系，并说明理由;

(Ⅲ)是否存在实数 ，使得 的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数 ;若不存在，请说明理由.

43.设椭圆 的一个顶点与抛物线 的焦点重合， 分别是椭圆的左、右焦点，且离心率 且过椭圆右焦点 的直线 与椭圆C交于 两点.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)是否存在直线 ，使得 .若存在，求出直线 的方程;若不存在，说明理由.

(Ⅲ)若AB是椭圆C经过原点O的弦， MN AB，求证： 为定值.

44.设 是抛物线 的焦点，过点M(-1，0)且以 为方向向量的直线顺次交抛物线于 两点。

(Ⅰ)当 时，若 与 的夹角为 ，求抛物线的方程;

(Ⅱ)若点 满足 ，证明 为定值，并求此时△ 的面积

45.已知点 ，点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上，点 在直线 上，且满足 .

(Ⅰ)当点 在 轴上移动时，求点 的轨迹 的方程;

(Ⅱ)设 、 为轨迹 上两点，且 >1, >0, ，求实数 ，

使 ，且 .

46.已知椭圆 的右焦点为F，上顶点为A，P为C 上任一点，MN是圆 的一条直径，若与AF平行且在y轴上的截距为 的直线 恰好与圆 相切。

(1)已知椭圆 的离心率;

(2)若 的最大值为49，求椭圆C 的方程.

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