【摘要】鉴于大家对精品学习网十分关注，小编在此为大家搜集整理了此文“高三数学教案：抛物线经典例题讲解”，供大家参考!

本文题目：高三数学教案：抛物线经典例题讲解

抛物线习题精选精讲

(1)抛物线——二次曲线的和谐线

椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.

【例1】P为抛物线 上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴( )

相交 相切 相离 位置由P确定

【解析】如图，抛物线的焦点为 ，准线是

.作PH⊥ 于H，交y轴于Q，那么 ，

且 .作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的

中位线， .故以

PF为直径的圆与y轴相切，选B.

【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则

分别是相离或相交的.

(2)焦点弦——常考常新的亮点弦

有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.

【例2】 过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 两点，求证：

(1) (2)

【证明】(1)如图设抛物线的准线为 ，作

，

.两式相加即得：

(2)当AB⊥x轴时，有

成立;

当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： .代入抛物线方程：

.化简得：

∵方程(1)之二根为x1，x2，∴ .

.

故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 成立.

(3)切线——抛物线与函数有缘

有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.

【例3】证明：过抛物线 上一点M(x0，y0)的切线方程是：y0y=p(x+x0)

【证明】对方程 两边取导数：

.由点斜式方程：

y0y=p(x+x0)

(4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏

抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.

例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点 ( )

显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.

2.抛物线 的通径长为2p;

3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么：

以下再举一例

【例4】设抛物线 的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点

【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.

【证明】如图设焦点两端分别为 ，

那么：

设抛物线的准线交x轴于C，那么

.

这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.

● 通法 特法 妙法

(1)解析法——为对称问题解困排难

解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等).

【例5】(07.四川文科卷.10题)已知抛物线

y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点

A、B，则|AB|等于( )

A.3 B.4 C.3 D.4

【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段

AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.

【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为： . 由

设方程(1)之两根为x1，x2，则 .

设AB的中点为M(x0，y0)，则 .代入x+y=0：y0= .故有 .

从而 .直线AB的方程为： .方程(1)成为： .解得：

，从而 ，故得：A(-2，-1)，B(1，2). ，选C.

(2)几何法——为解析法添彩扬威

虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.

【例6】(07.全国1卷.11题)抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积( )

A. B. C. D.

【解析】如图直线AF的斜率为 时∠AFX=60°.

△AFK为正三角形.设准线 交x轴于M，则

且∠KFM=60°，∴ .选C.

【评注】(1)平面几何知识：边长为a的正三角形的

面积用公式 计算.

(2)本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.

(3)定义法——追本求真的简单一着

许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.

【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线

的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ;抛物线 的线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于( )

A. B. C. D.

【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.

如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半

焦距c，离心率为e，作 ，令

.∵点M在抛物线上，

，

这就是说： 的实质是离心率e.

其次， 与离心率e有什么关系?注意到：

.

这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .∴选 A..

(4)三角法——本身也是一种解析

三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.

因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.

【例8】(07.重庆文科.21题)如图，倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;

(Ⅱ)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交

x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

【解析】(Ⅰ)焦点F(2，0)，准线 .

(Ⅱ)直线AB：

代入(1)，整理得：

设方程(2)之二根为y1，y2，则 .

设AB中点为

AB的垂直平分线方程是： .

令y=0，则

故

于是|FP|-|FP|cos2a= ，故为定值.

(5)消去法——合理减负的常用方法.

避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.

【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：(1) 与抛物线 有两个不同的交点A和B;(2)线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程.

【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点

∵线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分，且

.

设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：

AB中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：

(6)探索法——奔向数学方法的高深层次

有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.

【例10】(07.安徽卷.14题)如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .

【解析】∵

设OA上第k个分点为

第k个三角形的面积为：

.

故这些三角形的面积之和的极限

抛物线定义的妙用

对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。

一、求轨迹(或方程)

例1. 已知动点M的坐标满足方程 ，则动点M的轨迹是( )

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对

解：由题意得：

即动点 到直线 的距离等于它到原点(0，0)的距离

由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点(0，0)为焦点，以直线 为准线的抛物线。

故选C。

二、求参数的值

例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点距离为5，求m的值。

解：设抛物线方程为 ，准线方程：

∵点M到焦点距离与到准线距离相等

解得：

∴抛物线方程为

把 代入得：

三、求角

例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为 ，则 __________。

A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°

图1

解：如图1，由抛物线的定义知：

则

由题意知：

即

故选C。

四、求三角形面积

例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若 ， 。求△OPQ的面积。

解析：如图2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点

图2

则由抛物线定义知：

又 ，则

由 得：

即

又PQ为过焦点的弦，所以

则

所以，

点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。

五、求最值

例5. 设P是抛物线 上的一个动点。

(1)求点P到点A(-1，1)的距离与点P到直线 的距离之和的最小值;

(2)若B(3，2)，求 的最小值。

解：(1)如图3，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是

由抛物线的定义知：点P到直线 的距离等于点P到焦点F的距离。

于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小。

显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为 ，即为 。

图3

(2)如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ，则

，则有

即 的最小值为4

图4

点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。

六、证明

例6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。

证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作AC、BD垂直于 ，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直 于H。

图5

由抛物线的定义有：

∵ABDC是直角梯形

即 为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。

抛物线与面积问题

抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。

例1. 如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)。点C(0，5)、点D(1，8)在抛物线上，M为抛物线的顶点。

图1

(1)求抛物线的解析式;

(2)求△MCB的面积。

解：(1)设抛物线的解析式为

，根据题意得

，解得

∴所求的抛物线的解析式为

(2)∵C点坐标为(0，5)，∴OC=5

令 ，则 ，

解得

∴B点坐标为(5，0)，OB=5

∵ ，

∴顶点M的坐标为(2，9)

过点M作MN⊥AB于点N，

则ON=2，MN=9

∴

例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。

图2

(1)求出这个二次函数的解析式和对称轴。

(2)在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA=PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。

解：(1)∵等腰直角△OAB的面积为18，

∴OA=OB=6

∵M是斜边OB的中点，

∴

∴点A的坐标为(6，0)

点M的坐标为(3，3)

∵抛物线

∴ ，解得

∴解析式为 ，

对称轴为

(2)答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA=PM。

①P点在x轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为(3，0)。

②P点在y轴上，且满足PA=PM时，点P坐标为(0，-3)。

例3. 二次函数 的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，1)。

图3

(1)请判断实数a的取值范围，并说明理由。

(2)设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时，求a的值。

解：(1)由图象可知： ;图象过点(0，1)，所以c=1;图象过点(1，0)，则 ;

当 时，应有 ，则

当 代入

得 ，即

所以，实数a的取值范围为 。

(2)此时函数 ，

要使

，

可求得 。

例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C(1，0)、D(4，0)两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。

图4

(1)求K的值;

(2)求过F、C、D三点的抛物线的解析式;

(3)线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动(点P不重合于点C)，过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。

解：(1)∵点A、B在一次函数 的图象上，

∴

且

∵四边形ABDC的面积为7

∴

∴ 。

(2)由F(0，4)，C(1，0)，D(4，0)得

(3)∵PD=1×t=t

∴OP=4-t

∴

即 。

抛物线

1已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q： 的右焦点F1重合，且点 在椭圆Q上。(Ⅰ)求椭圆Q的方程及其离心率;(Ⅱ)若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。

解：(Ⅰ)由题意知，抛物线 的焦点为(1，0)

∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为(1，0)。∴ ①

又点 在椭圆Q上， ∴ 即 ②

由①②，解得 ∴椭圆Q的方程为 ∴离心离

(Ⅱ)由(Ⅰ)知F2(-1，0)∴直线l的方程为 设

由方程组 消y整理，得

∴

又点F1到直线l的距离 ∴

2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为 的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积

解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中-5

-4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m-4)2-

4m2=16(1-m)>0,解得m<1,又-5

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4-2m，x1•x2=m2,∴|MN|=4 点A到直线l的距离为d=

∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1-m)(5+m)2=2(2-2m)•(5+m)(5+m)≤2( )3=128

∴S△≤8 ,当且仅当2-2m=5+m,即m=-1时取等号 故直线l的方程为y=x-1，△AMN的最大面

积为8

解法二 由题意，可设l与x轴相交于B(m,0), l的方程为x = y +m,其中0

由方程组 ,消去x,得y 2-4 y -4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

∴方程①的判别式Δ=(-4)2+16m=16(1+m)>0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1•y 2=-4m,

∴S△= =

4 =4

∴S△≤8 ,当且仅当 即m=1时取等号

故直线l的方程为y=x-1，△AMN的最大面积为8

3已知O为坐标原点，P( )( )为 轴上一动点，过P作直线交抛物线 于A、B两点，设S△¬¬AOB= ，试问： 为何值时，t取得最小值，并求出最小值。

解：交AB与 轴不重叠时，设AB的方程为

合 消y可得：

设A B 则 ， 交AB与x轴重叠

时，上述结论仍然成立

∴

又 ∴

≥ 当 时 取“=”， 综上 当

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