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高考数学抛物线的标准方知识点讲解

编辑:haoyy

2015-04-08

精品学习网小编在此为大家整理了高考数学抛物线的标准方知识点,供大家参考,希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩!

1. 抛物线定义:

平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿,仅比值(离心率e)不同,当e=1时为抛物线,当0

2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同形式方程的几何性质(如下表):

 

 

其中为抛物线上任一点。

3. 对于抛物线上的点的坐标可设为,以简化运算。

4. 抛物线的焦点弦:设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于,直线与的斜率分别为,直线的倾斜角为,则有,,,,,,。

说明:

1. 求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。

2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。

3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。

【解题方法指导】

例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长等于,求此抛物线的方程。

解析:设所求抛物线的方程为或

设交点(y1>0)

则,∴,代入得

∴点在上,在上

∴或,∴

故所求抛物线方程为或。

例2. 设抛物线的焦点为,经过的直线交抛物线于两点,点在抛物线的准线上,且∥轴,证明直线经过原点。

解析:证法一:由题意知抛物线的焦点

故可设过焦点的直线的方程为

由,消去得

设,则

∵∥轴,且在准线上

∴点坐标为

于是直线的方程为

要证明经过原点,只需证明,即证

注意到知上式成立,故直线经过原点。

证法二:同上得。又∵∥轴,且在准线上,∴点坐标为。于是,知三点共线,从而直线经过原点。

证法三:如图,

设轴与抛物线准线交于点,过作,是垂足

则∥∥,连结交于点,则

又根据抛物线的几何性质,

因此点是的中点,即与原点重合,∴直线经过原点。

评述:本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法,证法三为几何法,充分运用了抛物线的几何性质,数形结合,更为巧妙。

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