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考点　直线与圆锥曲线的位置关系

1.(2013课标全国Ⅱ,10,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(　　)

A.y=x-1或y=-x+1

B.y=(x-1)或y=-(x-1)

C.y=(x-1)或y=-(x-1)

D.y=(x-1)或y=-(x-1)

答案　C

2.(2013江西,20,13分)椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,a+b=3.

(1)求椭圆C的方程;

(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意一点,直线DP交x轴于点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m.证明:2m-k为定值.

解析　(1)因为e==,

所以a=c,b=c.代入a+b=3得,c=,a=2,b=1.

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)证明:证法一:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则直线BP的方程为y=k(x-2),①

①代入+y2=1,

解得P.

直线AD的方程为y=x+1.②

①与②联立解得M.

由D(0,1),P,N(x,0)三点共线知=,解得N.

所以MN的斜率为m=

==,

则2m-k=-k=(定值).

证法二:设P(x0,y0)(x0≠0,±2),则k=,

直线AD的方程为y=(x+2),

直线BP的方程为y=(x-2),

直线DP的方程为y-1=x,令y=0,由y0≠1可得N,

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