本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)

1.已知sinα=-22，π2<α<3π2，则角α等于(　　)高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

A.π3

B.2π3

C.4π3

D.5π4

[答案]　D

2.已知向量a=(-2,2)，b=(5，k).若|a+b|不超过5，则k的取值范围是(　　)

A.[-4,6]

B.[-6,4]

C.[-6,2]

D.[-2,6]

[答案]　C

[解析]　由|a+b|≤5平方得a2+2a•b+b2≤25，

由题意得8+2(-10+2k)+25+k2≤25，

即k2+4k-12≤0，(k+6)(k-2)≤0，求得-6≤k≤2.故选C.

3.函数f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是(　　)

A.π4

B.π2

C.π

D.2π

[答案]　C

[解析]　由f(x)=|sinx+cosx|=2sinx+π4，而y=2sin(x+π4)的周期为2π，所以函数f(x)的周期为π，故选C.

[点评]　本题容易错选D，其原因在于没有注意到加了绝对值会对其周期产生影响.

4.|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为(　　)

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

[答案]　C

[解析]　∵c⊥a，∴a•c=0，∴a•(a+b)=0，

即a•b=-|a|2，设a与b的夹角为θ，

∴cosθ=a•b|a|•|b|=-|a|2|a|•|b|=-12，

∴θ=120°.

5.函数y=tan2x-π4的单调增区间是(　　)

A.kπ2-π8，kπ2+3π8，k∈Z

B.kπ2+π8，kπ2+5π8，k∈Z

C.kπ-π8，kπ+3π8，k∈Z

D.kπ+π8，kπ+5π8，k∈Z

[答案]　A

[解析]　∵kπ-π2<2x-π4

∴kπ-π4<2x

∴kπ2-π8

6.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10)，则5秒后点P的坐标为(　　)

A.(-2,4)

B.(-30,25)

C.(10，-5)

D.(5，-10)

[答案]　C

[解析]　设(-10,10)为A,5秒后P点的坐标为A1(x，y)，则AA1→=(x+10，y-10)，由题意有AA1→=5v.

所以(x+10，y-10)=(20，-15)

⇒x+10=20y-10=-15⇒x=10y=-5所以选C.

7.函数y=sin2x+π6+cos2x+π3的最小正周期和最大值分别为(　　)

A.π，1

B.π，2

C.2π，1

D.2π，2

[答案]　A

[解析]　y=sin2xcosπ6+cos2x•sinπ6+cos2xcosπ3-sin2xsinπ3

=32sin2x+12cos2x+12cos2x-32sin2x

=cos2x，

∴函数的最小正周期为π，最大值为1.

8.设向量a=(1，-3)，b=(-2,4)，c=(-1，-2)，表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)

A.(2,6)

B.(-2,6)

C.(2，-6)

D.(-2，-6)

[答案]　D

[解析]　设d=(x，y)，由题意4a=(4，-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4，-2).又表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，

∴4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即(4，-12)+(-6，20)+(4，-2)+(x，y)=(0,0)，求得向量d=(-2，-6).

9.若sinα+cosα=tanα0<α<π2，则角α所在区间是(　　)

A.0，π6

B.π6，π4

C.π4，π3

D.π3，π2

[答案]　C

[解析]　tanα=sinα+cosα=2sin(α+π4)，

∵0<α<π2，∴π4<α+π4<3π4.

∴22

∴1

∴π4<α<π3，即α∈(π4，π3).故选C.

10.若向量i，j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+mj，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围是(　　)

A.12，+∞

B.(-∞，-2)∪-2，12

C.-2，23∪23，+∞

D.-∞，12

[答案]　B

[解析]　由条件知a=(1，-2)，b=(1，m)，

∵a与b的夹角为锐角，

∴a•b=1-2m>0，∴m<12.

又a与b夹角为0°时，m=-2，∴m≠-2.

[点评]　两个向量夹角为锐角则数量积为正值，夹角为钝角则数量积为负值，是常用的结论.

11.已知函数F(x)=sinx+f(x)在-π4，3π4上单调递增，则f(x)可以是(　　)

A.1

B.cosx

C.sinx

D.-cosx

[答案]　D

[解析]　当f(x)=1时，F(x)=sinx+1;当f(x)=sinx时，F(x)=2sinx.此两种情形下F(x)的一个增区间是-π2，π2，在-π4，3π4上不单调;对B选项，当f(x)=cosx时，F(x)=sinx+cosx=2sinx+π4的一个增区间是-3π4，π4，在-π4，3π4上不单调;D选项是正确的.

12.在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是(　　)

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.正三角形

[答案]　B

[解析]　∵C=π-(A+B)，∴sinC=sin(A+B)，∴2sinAcosB=sin(A+B).∴sinAcosB-cosAsinB=0.∴sin(A-B)=0.∴A-B=kπ(k∈Z).又A、B为三角形的内角，∴A-B=0.∴A=B.则三角形为等腰三角形.

[点评]　解三角形的题目注意应用诱导公式及三角形内角和为π的条件.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)

13.函数y=cos2x+sinxcosx的最小正周期T=________.

[答案]　π

[解析]　y=cos2x+sinxcosx=cos2x+12sin2x

=52sin(2x+φ)，

∴函数f(x)的周期T=2π2=π.

14.已知α，β均为锐角，且cos(α+β)=sin(α-β)，则tanα=________.

[答案]　1

[解析]　∵cos(α+β)=sin(α-β)，

∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ，

∵α、β为锐角，∴cosα≠0，cosβ≠0，

上式两边同除以cosαcosβ得

1-tanαtanβ=tanα-tanβ，

即tanα-tanβ+tanαtanβ-1=0，

∴(1+tanβ)(tanα-1)=0，

∵β为锐角，∴tanβ>0，

∴1+tanβ≠0，∴tanα-1=0即tanα=1.

15.△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH→=m(OA→+OB→+OC→)，则实数m=________.

[答案]　1

[解析]　由于本题是填空题，所以可以令三角形ABC为等腰三角形，其中角C=90°，则两直角边的高的交点为C，即C与H重合.而O为斜边AB的中点，所以OA→与OB→为相反向量，所以有OA→+OB→=0，于是OH→=mOC→，而C与H重合，所以m=1.

16.函数f(x)=3sin2x-π3的图象为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).

①图象C关于直线x=11π12对称;

②图象C关于点2π3，0对称;

③函数f(x)在区间-π12，5π12内是增函数;

④由y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C.

[答案]　①②③

[解析]　f11π12=3sin3π2=-3，①正确;

f2π3=3sinπ=0，②正确;

由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，k∈Z得，

kπ-π12≤x≤kπ+5π12，

∴f(x)的增区间为kπ-π12，kπ+5π12(k∈Z)，

令k=0得增区间为-π12，5π12，③正确;

由y=3sin2x的图象向右平移π6个单位长度可以得到图象C，④错误.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题满分12分)设函数f(x)=a•b，其中向量a=(m，cos2x)，b=(1+sin2x,1)，x∈R，且函数y=f(x)的图象经过点π4，2.

(1)求实数m的值;

(2)求函数f(x)的最小值及此时x值的集合.

[解析]　(1)f(x)=a•b=m(1+sin2x)+cos2x，

由已知fπ4=m1+sinπ2+cosπ2=2，得m=1.

(2)由(1)得f(x)=1+sin2x+cos2x

=1+2sin2x+π4，

∴当sin2x+π4=-1时，f(x)取得最小值1-2，

由sin2x+π4=-1得，2x+π4=2kπ-π2，

即x=kπ-3π8(k∈Z)

所以f(x)取得最小值时，x值的集合为

x|x=kπ-3π8，k∈Z.

18.(本题满分12分)已知函数f(x)=1-2sin2x-π4cosx.

(1)求f(x)的定义域;

(2)设α是第四象限的角，且tanα=-43，求f(α)的值.

[解析]　(1)由cosx≠0得x≠kπ+π2(k∈Z)，

故f(x)的定义域为xx≠kπ+π2，k∈Z.

(2)因为tanα=-43，且α是第四象限的角，

所以sinα=-45，cosα=35，

故f(α)=1-2sin2α-π4cosα

=1-222sin2α-22cos2αcosα

=1-sin2α+cos2αcosα=2cos2α-2sinαcosαcosα

=2(cosα-sinα)=145.

19.(本题满分12分)(08•陕西文)已知函数f(x)=2sinx4cosx4+3cosx2.

(1)求函数f(x)的最小正周期及最值;

(2)令g(x)=fx+π3，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.

[解析]　(1)∵f(x)=sinx2+3cosx2

=2sinx2+π3，

∴f(x)的最小正周期T=2π12=4π.

当sinx2+π3=-1时，f(x)取得最小值-2;

当sinx2+π3=1时，f(x)取得最大值2.

(2)由(1)知f(x)=2sinx2+π3，

又g(x)=fx+π3，

∴g(x)=2sin12x+π3+π3

=2sinx2+π2=2cosx2.

∵g(-x)=2cos-x2=2cosx2=g(x)，且定义域为R，∴函数g(x)是偶函数.

20.(本题满分12分)已知sin(45°+α)sin(45°-α)=-14，0°<α<90°.

(1)求α的值;

(2)求sin(α+10°)[1-3tan(α-10°)]的值.

[解析]　(1)∵sin(45°+α)sin(45°-α)=sin(45°+α)cos(45°+α)

=12sin(90°+2α)=12cos2α，

∴12cos2α=-14.即cos2α=-12.

∵0°<α<90°，∴0°<2α<180°，

∴2α=120°，α=60°.

(2)sin(α+10°)[1-3tan(α-10°)]

=sin70°(1-3tan50°)=sin70°•cos50°-3sin50°cos50°

=2sin70°cos50°12cos50°-32sin50°

=2sin70°cos110°cos50°=-2sin70°sin20°cos50°

=-2cos20°sin20°cos50°=-sin40°cos50°=-1.

21.(本题满分12分)(2010•江西文，19)已知函数f(x)=(1+1tanx)sin2x-2sin(x+π4)sin(x-π4).

(1)若tanα=2，求f(α);

(2)若x∈[π12，π2]，求f(x)的取值范围.

[解析]　(1)f(x)=sinx+cosxsinx•sin2x-2(22sinx+22cosx)(22sinx-22cosx)

=sin2x+cosxsinx-sin2x+cos2x=sinxcosx+cos2x

∴f(α)=cos2α+sinαcosα1

=cos2α+sinαcosαsin2α+cos2α=1+tanαtan2α+1=35.

(2)由(1)知，f(x)=cos2x+sinxcosx

=1+cos2x2+sin2x2=22sin(2x+π4)+12，

∵π12≤x≤π2⇒5π12≤2x+π4≤5π4⇒-22≤sin(2x+π4)≤1⇒0≤f(x)≤2+12，∴f(x)∈[0，2+12].

22.(本题满分14分)设平面上向量a=(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b=(-12，32).

(1)试证：向量a+b与a-b垂直;

(2)当两个向量3a+b与a-3b的模相等时，求角α.

[解析]　(1)(a+b)•(a-b)=(cosα-12，sinα+32)•(cosα+12，sinα-32)

=(cosα-12)(cosα+12)+(sinα+32)(sinα-32)

=cos2α-14+sin2α-34=0，

∴(a+b)⊥(a-b).

(2)由|a|=1，|b|=1，且|3a+b|=|a-3b|，平方得(3a+b)2=(a-3b)2，整理得2a2-2b2+43ab=0①.

∵|a|=1，|b|=1，∴①式化简得a•b=0，

a•b=(cosα，sinα)•(-12，32)=-12cosα+32sinα=0，即cos(60°+α)=0.

∵0°≤α<360°，∴可得α=30°，或α=210°.

[点评]　(1)问可由|a|=1，|b|=1得，(a+b)•(a-b)=|a|2-|b|2=0，∴(a+b)⊥(a-b).高考数学试题由精品学习网收集整理!!!

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