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名师讲解高考文科数学二轮复习导数的应用

编辑:sx_liujy

2016-03-14

 要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系,由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的,因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用,精品学习网整理了文科数学二轮复习导数的应用,供参考。

1.(典型例题)已知函数=-x3+3x2+9x+a.(1)求的单调递减区间;(2)若在区间[-2,2]上最大值为20,求它在该区间上的最小值。

[考场错解](1)=-3x2+6x+9,令<0,解得x<-1或x>3,∴函数的音调递减区间为(-∞,-1)(3,+∞)

(2)令=0,得x=-1或x=3当-20;当x>3时,<0.

∴x=-1,是的极不值点,x=3是极大值点。∴f(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7.的最小值为f(-1)=-1+3-9+a=-14.

[专家把脉] 在闭区间上求函数的最大值和最小值,应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较大小才能产生最大(小)值点,而上面解答题直接用极大(小)值替代最大(小)值,这显然是错误的。

[专家把脉] 当>0时,是减函数,但反之并不尽然,如=-x3是减函数,=3x2并不恒小于0,(x=0时=0).因此本题应该有在R上恒小于或等于0。

[对症下药] 函数的导数:=3x2+6x-1.

当=3ax2+6x-1<0对任何x∈R恒成立时,在R上是减函数。

①对任何x∈R,3ax2+6x-1<0恒成立,a<0且△=36+12a<0a<-3.

所以当a<-3时,由<0对任何x∈R恒成立时,在R上是减函数。

②当a=-3时, =-3x3+3x2-x+1=-3(x-)3+.

由函数y=x3在R上的单调性知,当a=-3时,在R上是减函数。

③当a>-3时,f’(x)=3ax2+6x-1>0在R上至少可解得一个区间,所以当a>-3时,是在R上的减函数。综上,所求a的取值范围是(-∞,-3)。

3.已知a∈R,讨论函数=ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。

[对症下药] =ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]

令=0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.

(1)当△=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1、x2,不妨设x10;当x>x1时,f’(x)>0因此f(x)无极值。

(3)当△<0,即00 ,f’(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故f(x)为增函数,此时f(x)无极值点,因此,当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点,当0≤a≤4时,f(x)无极值点。

4.设函数=x-ln(x+m)其中常数m为整数。(1)当m为何值时,≥0;(2)定理:若g(x)在[a、b]上连续,且g(a)与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a、b),使g(x0)=0.试用上述定理证明:当整数m>1时,方程=0,在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。

[考场错解] 令≥0,x≥ln(x+m).∴m≤ex-x ∴m取小于或等于ex-x的整数。

[专家把脉] 上面解答对题意理解错误,原题“当m为何值时,≥0恒成立”,并不是对x的一定范围成立。因此,m≤ex-x这个结果显然是错误的。

[对症下药] (1)函数=x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)连续,且f’(x)=1-,令f’(x)=0,得x=1-m.当-m1-m时,>0, 为增函数。

根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m为极小值,而且对x∈(-m,+ ∞)都有≥f(1-m)=1-m,故当1-m=f()≥0,即m≤1时,≥0.即m≤1且m∈Z时,≥0.

(2)证明:由(1)可知,当整数m>1时,f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又为连续函数,且当m>1时,f(e-m-m)与f(1-m)异号,由所给定理知,存在唯一的x1∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而当m>1时,f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+-3m>0.(∵m>12m-1>1).

类似地,当整数m>1时,=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为连续增函数,且f(1-m)与f(e2m-m) ∵x<10时,V’>0,1036时V’>0.所以,当x=10时V有最大值V(10)=1960cm3

又V(0)=0,V(24)=0所以当x=10时,V有最大值V(10)=1960。所以该窗口的高为10cm,容器的容积最大,最大容积是1960cm3.

专家会诊1.证函数在(a,b)上单调,可以用函数的单调性定义,也可用导数来证明,前者较繁,后者较易,要注意若在(a、b)内个别点上满足=0(或不存在但连续)其余点满足>0(或<0)函数仍然在(a、b)内单调递增(或递减),即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。

2.函数的极值是在局部对函数值的比较,函数在区间上的极大值(或极小值)可能有若干个,而且有时极小值大于它的极大值,另外,=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件,对于连续函数(不一定处处可导)时可以是不必要条件。

3.函数的最大值、最小值,表示函数f(x)在整个区间的情况,即是在整体区间上对函数值(Ⅱ)由(Ⅰ)得且则

由,解得或;,解得或;,解得

的递增区间为:和;递减区间为:又

要有两个根,则有两解,由函数的单调性可得:。

2、设函数,.(Ⅰ)试问函数能否在时取得极值?说明理由;(Ⅱ)若,当时,与的图象恰好有两个公共点,求的取值范围.

【解析】:(Ⅰ) , 令, …… 2分

当时,,在上单调递增,函数无极值.所以在处无极值.… 4分

(Ⅱ),,令,,,或

正 负 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 与的图象恰好有两个公共点,等价于的图象与直线恰好有两个交点

或………………… 12分

3、已知函数的图象经过点,曲线在点处的切线恰好与直线垂直。(Ⅰ)求实数的值;(Ⅱ)若函数在区间上单调递增,求的取值范围。

【解析】:(Ⅰ) 的图象经过点,。…2分又,则。由条件知,即。…4分联立解得6分

(Ⅱ),,令,解得,或。…8分

函数在区间上单调递增,。…10分

则,即…12分

4、已知函数(Ⅰ)若曲线在点处的切线方程为,求函数解析式;(Ⅱ) 求函数的单调区间;(Ⅲ) 若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围.

对任意的成立.从而得所以满足条件的取值范围是……….13分

5、若定义在上的函数同时满足以下条件:① 在上是减函数,在上是增函数; ② 是偶函数;③ 在处的切线与直线垂直. (Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)设,若存在,使,求实数的取值范围

【解析】:(Ⅰ),∵ 在上是减函数,在上是增函数,

∴, ()由是偶函数得:,又在处的切线与直线垂直,,代入()得:即....5分

(Ⅱ)由已知得:若存在,使,即存在,使.

设,则,.....8分

令=0,∵,∴, 当时,,∴在上为减函数,当时,,∴在上为增函数,∴在上有最大值.

又,∴最小值为. 于是有为所求..13分

6、设函数(Ⅰ) 当时,求函数的极值;

(Ⅱ)当时,讨论函数的单调性.(Ⅲ)若对任意及任意,恒有

成立,求实数的取值范围.

【解析】:(Ⅰ)函数的定义域为. 当时,2分

当时,当时,无极大值. 4分

(Ⅱ) 5分

当,即时,在定义域上是减函数;

当,即时,令得或

令得当,即时,令得或

令得 综上,当时,在上是减函数;

当时,在和单调递减,在上单调递增;

当时,在和单调递减,在上单调递增;8分

即 .令,解得:或.

当时,,故的单调递增区间是.……3分

当时,,随的变化情况如下:

[ 极大值 极小值 所以,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是.……5分

当时,,随的变化情况如下:

极大值 极小值 所以,函数的单调递增区间是和,单调递减区间是.…7分

(Ⅱ)当时,的极大值等于. 理由如下:当时,无极大值.

当时, 的极大值为,…8分

令,即解得 或(舍)…9分 当时,的极大

值为.……10分因为 ,所以 .因为 ,所以

的极大值不可能等于.综上所述,当时,的极大值等于……12分

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