2014高考数学考前押题：抛物线

抛物线的定义和标准方程

1. O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为(　　)

(A)2 (B)2 (C)2 (D)4

解析:设P(xP,yP)(yP>0)由抛物线定义知,xP+=4,

∴xP=3,yP==2,

因此S△POF=×2×=2.故选C.

答案:C

2.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于(　　)

(A)2 (B)2 (C)4 (D)2

解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.

∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.

答案:B

3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)

(A) (B)1 (C) (D)

解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+=3,

∴xA+xB=.

∴线段AB的中点到y轴的距离为=.故选C.

答案:C

4.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是(　　)

(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

解析:抛物线y2=8x的焦点为(2,0),准线方程为x=-2,焦点到准线的距离为4.故选C.

答案:C

5.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)

(A)4 (B)6 (C)8 (D)12

解析:如图所示,抛物线的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,由抛物线的定义知:|PF|=|PE|=4+2=6.

故选B.

答案:B

6.若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=　　　　;准线方程为　　　　.

解析:因为抛物线方程为y2=2px,所以焦点坐标为,又焦点坐标为(1,0),则p=2,准线方程为x=-1.

答案:2　x=-1

7.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降

1 m后,水面宽　　　　m.

解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为

x2=-2py(p>0),

则A(2,-2),将其坐标代入

x2=-2py,得p=1.

∴x2=-2y.

当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x0>0),

将其坐标代入x2=-2y得=6,

∴x0=,∴水面宽|CD|=2 m.

答案:2

8.动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程是　　　　.

解析:由抛物线的定义知,点P的轨迹是以F为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y2=8x.

答案:y2=8x

9.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,|AF|=2,则|BF|=　　　　.

解析:设A(x0,y0),由抛物线定义知x0+1=2,∴x0=1,则直线AB⊥x轴,∴|BF|=|AF|=2.

答案:2

抛物线的几何性质及其应用

1.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为(　　)

(A)x=1 (B)x=-1

(C)x=2 (D)x=-2

解析:∵y2=2px的焦点坐标为,

∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.故选B.

答案:B

2.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是(　　)

(A)(0,2) (B)[0,2]

(C)(2,+∞) (D)[2,+∞)

解析:∵x2=8y,

∴焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.

由抛物线的定义知|MF|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.

由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故42.故选C.

答案:C

3.在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为(　　)

(A)(-2,-9) (B)(0,-5)

(C)(2,-9) (D)(1,-6)

解析:当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k==a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y′=2x+a得切线斜率为2x0+a,∴2x0+a=a-2,∴x0=-1.

∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),

即(a-2)x-y-6=0.

圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,即(a-2)2+1=5.

又a≠0,∴a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.

答案:A

4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=　　　　.

解析:如图所示,由AB的斜率为,

知∠α=60°,

又=,

∴M为AB的中点.

过点B作BP垂直准线l于点P,

则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.

∴|BP|=|AB|=|BM|,

∴M为焦点,即=1,∴p=2.

答案:2

直线与抛物线位置关系

1.)已知点A(2,0),抛物线C:x2=4y的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|等于(　　)

(A)2∶ (B)1∶2 (C)1∶ (D)1∶3

解析:过点M作MM′垂直于准线y=-1于点M′,

则由抛物线的定义知|MM′|=|FM|,

所以==sin∠MNM′,

而∠MNM′为直线FA的倾斜角θ的补角.

因为直线FA过点A(2,0)、F(0,1),

所以kFA=-=tan θ,

所以sin θ=,

所以sin∠MNM′=,

即|FM|∶|MN|=1∶.故选C.

答案:C

2.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为(　　)

(A)y=x-1或y=-x+1

(B)y=(x-1)或y=-(x-1)

(C)y=(x-1)或y=-(x-1)

(D)y=(x-1)或y=-(x-1)

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),

又F(1,0),

则=(1-x1,-y1), =(x2-1,y2),

由题意知=3,

因此

即

又由A、B均在抛物线上知

解得

直线l的斜率为=±,

因此直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).

故选C.

答案:C

3.已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于(　　)

(A) (B) (C) (D)2

解析:法一　设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),

由

得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,

∴x1+x2=,

x1x2=4,

由·=0,

得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=

(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,

代入整理得k2-4k+4=0,

解得k=2.故选D.

法二　如图所示,设F为焦点,取AB中点P,

过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,

连接MF,MP,

由·=0,

知MA⊥MB,

则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),

所以MP为直角梯形BHGA的中位线,

所以MP∥AG∥BH,

所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,

又|AG|=|AF|,

|AM|=|AM|,

所以△AMG≌△AMF,

所以∠AFM=∠AGM=90°,

则MF⊥AB,所以k=-=2.

答案:D

4.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于(　　)

(A)4 (B)8 (C)8 (D)16

解析:如图所示,直线AF的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4).

设P(x0,4),代入抛物线y2=8x,

得8x0=48,∴x0=6,

∴|PF|=x0+2=8,选B.

答案:B

5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,文11)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(　　)

(A) (B) (C) (D)

解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得

k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.

设交点的横坐标分别为xA,xB,

则xA+xB=-4,①

xA·xB=4.

又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,

|FA|=2|FB|,

∴2xB+4=xA+2.

∴xA=2xB+2.②

∴将②代入①得xB=-2,

xA=-4+2=-2.

故xA·xB==4.

解之得k2=.

而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.

答案:D

6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=　　　　.

解析:由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),又|AF|=3,由抛物线定义知,点A到准线x=-1的距离为3

∴点A的横坐标为2.

将x=2代入y2=4x得y2=8,

由图知点A的纵坐标y=2,

∴A(2,2),

∴直线AF的方程为y=2(x-1).

由解得或

由图知,点B的坐标为,

∴|BF|=-(-1)= .

答案:

7.已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点,若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.

解:(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则

=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.

由消去y,整理得x2-4kx-4=0,

所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.

由

解得点M的横坐标xM===.

同理,点N的横坐标xN=.

所以|MN|=|xM-xN|=

=8

=.

令4k-3=t,t≠0,则k=.

当t>0时,|MN|=2>2.

当t<0时,|MN|=2≥.

综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.

8.如图所示,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.

(1)求p的值;

(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).

解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,

所以A点坐标为.

故切线MA的方程为y=-(x+1)+.

因为点M(1-y0)在切线MA及抛物线C2上,于是

y0=-(2-)+=-, ①

y0=-=-. ②

由①②得p=2.

(2)设N(x,y),A,B,

x1≠x2,由N为线段AB中点知

x=, ③

y=. ④

切线MA,MB的方程为

y=(x-x1)+ , ⑤

y=(x-x2)+ . ⑥

由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为

x0=,y0=.

因为点M(x0,y0)在C2上,

即=-4y0,

所以x1x2=-. ⑦

由③④⑦得

x2=y,x≠0.

当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.

因此AB中点N的轨迹方程为

x2=y.

9.已知抛物线C顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.

(1)求抛物线C的方程;

(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;

(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

解:(1)∵抛物线C的焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,

∴=,得c=1,

∴F(0,1),即抛物线C的方程为x2=4y.

(2)设切点A(x1,y1),B(x2,y2),

由x2=4y得y′=x,

∴切线PA:y-y1=x1(x-x1),

有y=x1x-+y1,而=4y1,

即切线PA:y=x1x-y1,

同理可得切线PB:y=x2x-y2.

∵两切线均过定点P(x0,y0),

∴y0=x1x0-y1,y0=x2x0-y2,

由此两式知点A,B均在直线y0=xx0-y上,

∴直线AB的方程为y0=xx0-y,

即y=x0x-y0.

(3)设点P的坐标为(x′,y′),

由x′-y′-2=0,

得x′=y′+2,

则|AF|·|BF|=·

=·

=·

=(y1+1)·(y2+1)

=y1y2+(y1+y2)+1.

由

得y2+(2y′-x′2)y+y′2=0,

有y1+y2=x′2-2y′,y1y2=y′2,

∴|AF|·|BF|=y′2+x′2-2y′+1

=y′2+(y′+2)2-2y′+1

=22+,

当y′=-,x′=时,

即P时,|AF|·|BF|取得最小值.

10.如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py

(p>0)上.

(1)求抛物线E的方程;

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点.

(1)解:依题意,|OB|=8,∠BOy=30°.

设B(x,y),则x=|OB|sin 30°=4,

y=|OB|cos 30°=12.

因为点B(4,12)在x2=2py上,

所以(4)2=2p×12,解得p=2.

故抛物线E的方程为x2=4y.

(2)证明:由(1)知y=x2,y′=x.

设P(x0,y0),则x0≠0,y0=,且l的方程为

y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.

由得

所以Q为.

设M(0,y1),令·=0对满足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.

由于=(x0,y0-y1), =,

由·=0,

得-y0-y0y1+y1+=0,

即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

由于(*)式对满足y0=(x0≠0)的y0恒成立,

所以

解得y1=1.

故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1).

11.如图所示,在直角坐标系xOy中,点P到抛物线C:y2=2px(p>0)的准线的距离为.点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分.

(1)求p,t的值;

(2)求△ABP面积的最大值.

解:(1)由题意知得

(2)由(1)知M(1,1),

直线OM的方程为y=x,

设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为Q(m,m).

由题意知,

设直线AB的斜率为k(k≠0).

由

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,

故k·2m=1,

所以直线AB的方程为y-m=(x-m),

即x-2my+2m2-m=0.

由消去x,

整理得y2-2my+2m2-m=0,

所以Δ=4m-4m2>0,

y1+y2=2m,y1y2=2m2-m.

从而|AB|=·|y1-y2|=·.

设点P到直线AB的距离为d,

则d=.

设△ABP的面积为S,则

S=|AB|·d=|1-2(m-m2)|·.

由Δ=4m-4m2>0,得00)过点A(1,-2).

(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程.

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

解:(1)将(1,-2)代入y2=2px,得(-2)2=2p·1,

所以p=2.

故所求的抛物线C的方程为y2=4x,

其准线方程为x=-1.

(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=-2x+t.

由得y2+2y-2t=0.

因为直线l与抛物线C有公共点,

所以Δ=4+8t≥0,

解得t≥-.

另一方面,由直线OA与l的距离d=可得=,

解得t=±1.

因为-1∉,1∈,

所以符合题意的直线l存在,其方程为2x+y-1=0.

抛物线的定义和标准方程及其应用

1.已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是(　　)

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,

∵|PF|≥|CF|-1,

∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,

由y2=4x知F(1,0),

∴|PF|min=-1=4.

故选B.

答案:B

2.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为(　　)

(A)2 (B)3 (C)2 (D)4

解析:由-=1得c2=4+5=9.

∴双曲线右焦点为(3,0),

∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.

设d为点A(x0,y0)到准线的距离,

由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,

由题意得|y0|=x0+3,

代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,

解得x0=3.故选B.

答案:B

抛物线几何性质的应用

1.在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是　　　　　　　　　　.

解析:线段OA的斜率k=,中点坐标为.

所以线段OA的垂直平分线的方程是

y-=-2(x-1),

令y=0得到x=.

即抛物线的焦点为.

所以该抛物线的准线方程为x=-.

答案:x=-

2.已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为　　　　　　　　　.

解析:点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.

答案:x-2y+4=0

直线与抛物线的位置关系

1.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(　　)

(A) (B) (C)1 (D)2

解析:易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.

由得x2-4kx-4b=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1,x2是上述方程的两个根,

∴x1+x2=4k,x1·x2=-4b,

又|AB|=6,

∴=6,

化简得b=-k2,

设AB中点为M(x0,y0),

则y0===+b

=2k2+-k2

=k2+=(k2+1)+ -1

≥2×-1=2.

当且仅当k2+1=,

即k2=时,y0取到最小值2.故选D.

答案:D

2.)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.

(1)求抛物线方程及其焦点坐标;

(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.

解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y2=2px上,

∴4=2p×2,∴p=1.

∴抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.

(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.

设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).

由

得ky2-2y-4k=0,

设A,B.

则y1+y2=,y1·y2=-4.

∵kEA===.

∴EA方程为y-2=(x-2).

令x=-2,得y=2-=.

∴M.

同理可求得N.

∴·=·

=4+

=4+

=0

∴⊥.

即∠MON=90°,

∴∠MON为定值.

综合检测

1.若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为(　　)

(A)2 (B)18

(C)2或18 (D)4或16

解析:设P(x0,y0),则

∴36=2p,

即p2-20p+36=0.

解得p=2或18.故选C.

答案:C

2.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则+的最小值是(　　)

(A)4 (B)8 (C)12 (D)16

解析:抛物线的准线方程为x=-1,

∴|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,

∴+=4x1+4x2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.

∵|AB|的最小值为4(当AB⊥x轴时取得),

∴+的最小值为8.故选B.

答案:B

3.设动点P(x,y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;

(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.

解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,其方程为y2=2x.

(2)是定值.解法如下:设圆心M,

半径r=,

圆的方程为+(y-a)2=a2+,

令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),

∴BD=2,即弦长BD为定值.

(3)设过F的直线GH的方程为y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),

由得k2x2-(k2+2)x+=0,

∴x1+x2=1+,x1x2=,

∴|GH|=·=2+,

同理得|RS|=2+2k2.

S四边形GRHS=(2+2k2)=2≥8(当且仅当k=±1时取等号).

∴四边形GRHS面积的最小值为8.

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