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由来

古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q(p≠0)，如果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理系。

关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×(Z -{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系：设 p1，p2 Z，q1，q2 Z - {0}，如果p1q2=p2q1。则称(p1，q2)～(p2，q1)。Z×(Z -{0})关于这个等价关系的等价类，称为有理数。(p，q)所在的有理数，记为 。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即(p，1)所在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数系。

有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数域。

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，仅有理数可化为有限连分数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的(稠密)子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度量空间;实数是的完备集。

p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将转化到拓扑域：

设p是素数，对任何非零整数a设 | a | p= p- n，这里pn是p的最高次幂除a

另外 | 0 | p= 0。对任何有理数，设。

则在上定义了一个度量。

度量空间不完备，它的完备集是p进数域。

一个困难的问题：有理数的边界在哪里?　根据定义，无限循环小数和有限小数(整数可认为是小数点后是0的小数)，统称为有理数，无限不循环小数是无理数。

但人类不可能写出一个位数最多的有理数，对全地球人类，或比地球人更智慧的生物来说是有理数的数，对每个地球人来说，可能是无法知道它是有理数还是无理数了。因此有理数和无理数的边界，竟然紧靠无理数，任何两个十分接近的无理数中间，都可以加入无穷多的有理数，反之也成立。

竟然没有人知道有理数的边界，或者说有理数的边界是无限接近无理数的。

定理：位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的，尽管它的定义是有有限位，但它是无限趋近于无理数的，以致于没有手段进行判断。

证明：假设位数最多的非无限循环有理数被写出，我们在这个数的最后再加一位，这个数还是有限位有理数，但位数比已写出有理数多一位，证明原来写出的不是位数最多的非无限循环有理数。所以位数最多的非无限循环有理数是不可能被写出的。
 

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