在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆（circle）。这个定点叫做圆的圆心。接下来和小编一起练习初三数学圆和圆的位置关系家庭作业题。

初三数学圆和圆的位置关系家庭作业题2016

一、选择题(每小题3分，共18分)

1.(2014•重庆高一检测)圆C1：x2+y2-4x=0和C2：x2+y2-4y=0的位置关系是(　　)

A.外切 B.相离 C.内切 D.相交

【解析】选D.C1的圆心为(2，0)，r1=2，

C2的圆心为(0，2)，r2=2，

|C1C2|= =2 ，

所以|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2，< p="">

所以两圆相交.

2.圆C1：x2+y2=9和圆C2：(x-2)2+y2=1的位置关系为(　　)

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

【解析】选D.两圆的圆心和半径为C1(0，0)，r1=3，

C2(2，0)，r2=1，d= =2=r1-r2，

所以两圆内切.

【变式训练】圆C1：(x-1)2+y2=4与圆C2：x2+y2-4x+2y+4=0的位置关系是(　　)

A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

【解析】选B.圆C2化为标准方程：(x-2)2+(y+1)2=1.

两圆的圆心距为d= = ，

因为r1=2，r2=1，

所以r1-r2<d<r1+r2.< p="">

所以两圆相交.

3.(2014•湖南高考)若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=(　　)

A.21 B.19 C.9 D.-11

【解题指南】根据两个圆的位置关系：两圆外切的充要条件是它们的圆心距等于半径和.

【解析】选C.圆C1：x2+y2=1的圆心为C1 ，半径为r1=1，

圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0的圆心为C2 ，半径为r2= ，

所以 =5，r1+r2=1+ ，

因为圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，

所以5=1+ ，m=9.

4.已知圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A，B两点，则公共弦AB的垂直平分线的方程为(　　)

A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0

C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0

【解析】选C.由题意知公共弦AB的垂直平分线即为两圆圆心连线所在直线.

两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0).

所以所求直线的斜率为k= =3，

直线方程为3x-y-9=0.

5.(2014•广州高一检测)圆C1：x2+y2+4x-4y+7=0和圆C2：x2+y2-4x-10y+13=0的公切线的条数为(　　)

A.2 B.3 C.4 D.0

【解析】选B.C1的圆心为(-2，2)，半径为r1=1.

C2的圆心为(2，5)，半径为r2=4.

因为圆心距d=5，r1+r2=5，所以两圆外切，

由平面几何的知识得两圆有3条公切线.

6.已知半径为1cm的两圆外切，半径为2cm且和这两圆都相切的圆共有(　　)

A.3个 B.4个 C.2个 D.5个

【解析】选D.要全面分析所有的情况，包括都外切，都内切，一内切一外切.这样的圆共有5个，如图，它们是☉A，☉B，☉C，☉D，☉E.

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.两圆x2+y2-6x=0和x2+y2=4的公共弦所在直线的方程是__________.

【解析】由x2+y2-6x=0　 ①

x2+y2-4=0　 ②

①-②得：-6x+4=0，x= .

答案：x=

8.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|=________.

【解析】由题意知两圆的圆心在直线y=x上，

设C1(a，a)，C2(b，b)，可得(a-4)2+(a-1)2=a2，

(b-4)2+(b-1)2=b2，即a，b是方程x2-10x+17=0的两根，a+b=10，ab=17，

|C1C2|= = =8.

答案：8

9.(2013•泰州高一检测)若圆O1：x2+y2=5与圆O2：(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________.

【解题指南】利用圆的性质，过两圆交点的切线过另一个圆的圆心，且相互垂直.

【解析】由题意，O1(0，0)，O2(m，0)， <|m|<3 ，O1A⊥AO2，m2=( )2+(2 )2=25，m=±5，

AB=2× =4.

答案：4

三、解答题(每小题10分，共20分)

10.(2014•深圳高一检测)当实数k为何值时，两圆C1：x2+y2+4x-6y+12=0，C2：x2+y2-2x-14y+k=0相切、相交、相离?

【解析】将两圆的一般方程化为标准方程，

C1：(x+2)2+(y-3)2=1，

C2：(x-1)2+(y-7)2=50-k.

圆C1的圆心为C1(-2，3)，半径长r1=1;

圆C2的圆心为C2(1，7)，半径长r2= (k<50)，

从而|C1C2|= =5.

当1+ =5，即k=34时，两圆外切.

当| -1|=5，即 =6，

即k=14时，两圆内切.

当| -1|<5<1+ ，

即14<k<34时，两圆相交.< p="">

当1+ <5，

即34<k<50时，两圆相离.< p="">

11.(2013•淮阴高一检测)已知圆C1：x2+y2-2x-4y-13=0与圆C2：x2+y2-2ax-6y+a2+1=0(其中a>0)外切，且直线l：mx+y-7=0与C2相切，求：

(1)圆C2的标准方程.

(2)m的值.

【解析】(1)由题知C1：(x-1)2+(y-2)2=18，

C2：(x-a)2+(y-3)2=8.

因为C1与C2外切，所以圆心距d=r1+r2，

即 =3 +2 ，

所以a=8或-6.因为a>0，所以a=8.

所以圆C2的标准方程为(x-8)2+(y-3)2=8.

(2)由(1)知圆心C2(8，3)，因为l与C2相切，

所以圆心C2到直线l的距离d=r，

即 =2 .所m=1或 .

一、选择题(每小题4分，共16分)

1.(2014•武汉高一检测)已知圆A，圆B相切，圆心距为10cm，其中圆A的半径为4cm，则圆B的半径为(　　)

A.6cm或14cm B.10cm

C.14cm D.无解

【解析】选A.当两圆外切时，d=rA+rB，

10=4+rB，所以rB=6cm，

当两圆内切时，rB-rA=10，

rB=10+4=14(cm).

【误区警示】解答本题易忽视对内切、外切两种情况的讨论，致使错选.

2.(2014•上海高一检测)正方形ABCD中，AB=1，分别以A，C为圆心作两个半径为R，r(R>r)的圆，若☉A与☉C有2个交点，则R，r需满足的条件是(　　)

A.R+r> B.R-r<<r+r< p="">

C.R-r> D.0<r-r<< p="">

【解析】选B.因为正方形ABCD中，AB=1，

所以由勾股定理可得两圆的圆心距AC= ，

因为☉A与☉C有2个交点，即两圆相交，

所以圆心距大于两圆半径之差，并且小于两圆半径之和，

因为R>r，

所以R-r<<r+r.< p="">

3.(2014•天津高一检测)若圆C1：x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2：x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)外切，则a+b的最大值为(　　)

A.-3 B.-3

C.3 D.3

【解析】选D.圆C1：x2+y2+2ax+a2-4=0的标准方程为(x+a)2+y2=4，圆C2：x2+y2-2by-1+b2=0的标准方程为x2+(y-b)2=1.

因为两圆外切，所以 =3.

因为a2+b2≥2ab，

所以2(a2+b2)≥(a+b)2，

所以a+b≤3 ，

所以a+b的最大值为3 .

4.(2014•西安高一检测)设集合M={(x，y)|x2+y2≤4}，N={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2(r>0)}，当M∩N=N时，r的取值范围是(　　)

A.[0， -1] B.[0，1]

C.(0，2- ] D.(0，2)

【解析】选C.集合M表示以原点O(0，0)为圆心，半径等于2的圆面(圆及圆的内部)，集合N表示以C(1，1)为圆心，半径等于r的圆面(圆及圆的内部).

当M∩N=N时，圆C内含或内切于圆O，

故有|CO|≤2-r，即 ≤2-r，

所以0<r≤2- p="" .<="">

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.点M在圆心为C1的圆x2+y2+6x-2y+1=0上，点N在圆心为C2的圆x2+y2+2x+4y+1=0上，则|MN|的最大值为________.

【解题指南】首先确定两圆的位置关系并画出图形，由图形可知|MN|的最大值为圆心距与两圆半径的和.

【解析】把圆的方程都化成标准方程为(x+3)2+(y-1)2=9，

(x+1)2+(y+2)2=4，

如图，C1的坐标是(-3，1)，

半径是3;

C2的坐标是(-1，-2)，

半径是2，

所以|C1C2|= = .

因此，|MN|的最大值是 +5.

答案： +5

6.(2014•石家庄高一检测)已知圆C1：x2+y2+2x+ay-3=0和圆C2：x2+y2-4x-2y-9=0的公共弦长为2 ，则实数a的值为__________.

【解析】依题意，圆C1是以 为圆心，以 为半径的圆，圆C2是以(2，1)为圆心，以 为半径的圆，

因为圆C1与圆C2的公共弦长为2 ，两圆心之间的距离|C1C2|

= = .

因为在圆C1中，由弦长之半 ，弦心距d1及圆的半径 组成直角三角形，

所以d1= = ，

同理可求，圆C2中的弦心距d2=2 .

因为d1+d2=|C1C2|，

所以 = +2 ，

两边平方，得 +a+10= -2+8+4 • ，

整理得：7a2-8a-80=0，

即(a-4)(7a+20)=0.

所以a=4或a=- .

答案：4或-

三、解答题(每小题12分，共24分)

7.圆O1的方程为x2+(y+1)2=4，圆O2的圆心O2(2，1).

(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求公切线方程.

(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|=2 ，求圆O2的方程.

【解析】(1)由两圆外切，所以|O1O2|=r1+r2，r2=|O1O2|-r1=2( -1)，故圆O2的方程是：(x-2)2+(y-1)2=4( -1)2，两圆的方程相减，即得两圆公切线的方程x+y+1-2 =0.

(2)设圆O2的方程为：(x-2)2+(y-1)2= (r2>0)，

因为圆O1的方程为：x2+(y+1)2=4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x+4y+ -8=0.　①

作O1H⊥AB，则|AH|= |AB|= ，所以O1H= ，

由圆心O1(0，-1)到直线①的距离得 = ，

得 =4或 =20，故圆O2的方程为：

(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M， N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1=13;圆弧C2过点A(29，0).

(1)求圆弧C2所在圆的方程.

(2)曲线C上是否存在点P，满足|PA|= |PO|?若存在，指出有几个这样的点;若不存在，请说明理由.

【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169，

令x=5，解得M(5，12)，N(5，-12)，又C2过点A(29，0)，

设圆弧C2所在圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则

解得

所以圆弧C2所在圆的方程为x2+y2-28x-29=0.

(2)假设存在这样的点P(x，y)，

则由|PA|= |PO|，得

(x-29)2+y2=30(x2+y2)，即x2+y2+2x-29=0.

由 解得x=-70(舍去);

由

解得x=0(舍去).

所以这样的点P不存在.

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