三、解答题(共66分)

19.(8分)如图，在△ABC中， ， 是 上任意一点(M与

A不重合)，MD⊥BC，且交∠ 的平分线于点D，求证： .

20.(8分) 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.

定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.

举例：如图(1)，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图(2 )，

CD为等边三角形ABC的高.准外心P在高CD上，且PD= AB，求∠APB

的度数.

探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，试探究PA

的长.

21.(8分)如图，在四边形 中， ， 平分∠ .求证： .

22.(8分)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边 △DCE，B、E在C、D的同侧，若  ，求BE的长.

23.(8分))如图，在Rt△ABC中， ，

点D是AC的中点，将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC.

试猜想线段BE 和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想.

24.(8分)求证：在一个三角形中，如果两条边不相等，那么这两条边所对的

角也不相等.

25.(8分)已知：如图， ， 是 上一点， 于点 ， 的延长

线交 的延长线于点 .求证：△ 是等腰三角形.

26.(10分)在△ 中， ，AB的垂直平分线交AC于点N，交BC的

延长线于点M，  .

(1 )求 的大小.

(2)如果将(1)中的∠A的度数改为70°，其余条件不变，再求∠ 的大小.

(3)你认为存在什么样的规律?试用一句话说明.(请同学们自己画图)

(4)将(1)中的∠A改为钝角，对这个问题规律的认识是否需要加以修改?

第一章 证明(二)检测题参考答案

一、选择题

1.B   解析：只有②④正确.

2. C  解析:∵ △ABC是等腰三角形，

∴ AB=AC，∠B=∠C.

∵ DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，即 ，

∴ △ADE≌△DAC，∴ ∠E=∠C，∴ ∠B=∠E，AB=DE.

但是四边形ABDE不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，故选C.

3.B   解析：因为 ，所以 .

因为 ，所以 ，

.又因为 ，

所以 ，

所以 所以

4. D  解析: 4的平方根是±2，有两边和一角相等的两个三角形不一定全等.故命题①②都是假命题，只有命题③是真命题，故选D.

5.A   解析：设等边三角形的边长为a，

则

6.D   解析：因为∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，所以△ABC为直角三角形，且∠C为直角.

又因为最短边  cm，则最长边  cm.

7.D  解析：因为等腰三角形的顶角是底角的4倍，所以顶角

是 120°，底角是30°.如图，在△ 中，

则

8.C   解析：A.两边及夹角对应相等的两个三角形全等，故A项错误;

B.有一腰及顶角对应相等的两个等腰三角形全等，故B项错误;

C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确;

D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定全等，D项错误.

9.B   解析：设此直角三角形为△ABC，其中 因为直角三角形斜边的长等于其中线长的2倍，所以 又因为其周长是 ，所以 .两边平方得 ， .由勾股定理知 ，所以 .

10.D   解析：因为 垂直平分 ，所以 .所以△ 的周

长 (cm).

二、填空题

11. 100°  解析:如图所示，由AB=AC，AO平分∠BAC得AO

所在直线是线段BC的垂直平分线，连接OB，则OB=OA=OC，

所以∠OAB=∠OBA= ×50°=25°，

得∠BOA=∠COA=

所以∠OBC=∠OCB=  =40°.

由于EO=EC，故∠OEC=180°-2×40°=100°.

12. 直角   解析:直角三角形的三条高线交点恰好是此三角形的

一个顶点;锐角三角形的三条高线交点在此三角形的内部;钝角三角形的三条高线交点在三角形的外部.

13.在△ABC和△ADC中，如果 那

么

14.20 cm    解析:根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等可得答案.

15.    1∶3   解析：因为 ，F是AB的中点，所以 .在Rt△ 中，因为 ，所以 .又 ，所 .

16. 16或17   解析:当等腰三角形的腰长为5时，其周长为5×2+6=16;

当等腰三角形的腰长为6时，其周长为6×2+5=17.∴ 这个等腰三角形的周长为16或17.