奥数的学习并没有我们想象的那么难，只要用心我们还是可以把奥数学习好的。我们一起来看一下这篇初中奥数直角三角形应用题专题讲解吧。

一、构造一个直角三角形模型

这一类问题一般比较简单，关键在于构造出一个直角三角形，把相应的边和角都归纳进这个三角形，然后用适当的边角关系解决相应的问题.

例1：一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里(结果保留根号)。

分析：因为灯塔在C的正北，可构造如图所示的直角三角形ABC，又AC=20，∠BAC=60°，所以由正切函数可计算出BC.

解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°，∠BAC=90°-30°=60°，

又∵AC=20×1=20，

∴tan60°=，BC=AC tan60°=20×=20.

例2：苏州的虎丘塔塔身倾斜，却历经千年而不倒，被誉为“中国第一斜塔”(如图1-2).BC是过塔底中心B的铅垂线，AC是塔顶A偏离BC的距离，椐测量，AC约为2.34m，倾角约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度.(精确到0.1m)

分析：因为BC是铅垂线，所以与地面垂直，AB是斜线，要解决该问题，必须构造直角三角形，故过塔顶A作BC垂线垂足为点C，放在Rt△ACB中解决该问题.

解：在Rt△ACB中，

∵∠ACB=90°，∠ABC=2°48′，又AC=2.34

∴ tan2°48′=，

即AB=AC•cot2°48′=2.34 cot2°48′=47.8m.

二、构造两个直角三角形模型

已知AB⊥CD，∠ACB=α，∠ADB=β(或者其他的两个角)，CD=d(或其他任一边的长度)，求AB及其他边的长度.

这类模型又分两种情况分别解决不同的问题.

第一种情况：点C，D在边AB的同侧利用这两个直角三角形的边角，边边关系构造方程组解决诸如测量中的俯角，仰角，轮船在大海中航行中的方位角等问题.

例3一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，一小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M距离是多少?(精确到0.1海里，≈1.732)

分析：因为D在M正东方向，AB是正北方向，所以MD⊥AD，即构造了两个直角三角形：Rt△ADM和Rt△BDM.在这两个直角三角形中利用边角关系构造方程组，即可解决问题.

解：不妨设MD=x，DB=y.

又∠MAD=30°，

∠MBD=45°，AB=20×1=20，

在Rt△BDM中，∵tan∠MBD=，

∴tan45°= ①

在Rt△ADM中，∵tan∠MAD=，

∴tan30°= ②

解这个方程组得x=10(+1)≈27.3，y=10(+1))≈27.3.

所以该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔M距离约为27.3海里.

第二种情况：点C，D在边AB的异侧利用这两个直角三角形的边角、边边关系构造方程组也能解决一系列问题.

例4平地上有一建筑物AB和铁塔CD相距60m，已知在建筑物顶部测得铁塔底部的俯角为30°，又测得塔顶的仰角为45°，求铁塔的高(精确到0.01米).

分析：本题需构造直角三角形，可从点A引CD的垂线，垂足是点E，得到两个Rt三角形，在这两个三角形中利用边角关系构造方程组，即可解决问题.

解：作AE⊥CD，交CD于点E，不妨设CE=x，DE=y.又∠DAE=30°，∠CAE=45°.

在Rt△ADE中，∵tan∠DAE=

∴tan30°= ①

在Rt△AEC中，∵tan∠CAE=

∴tan45°= ②

解这个方程组得x=60

y=20

∴DE=60+20≈94.64

答：铁塔的高度为94.64m.

例5甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时15千米的速度沿西偏北30°方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进。甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇。

(1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间?

(2)甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米?

分析：因为乙船速度始终没有改变，本题应从乙船入手，若能求出AB的长度，则可求出乙船所用的时间，从而可求出甲船追赶上乙船用了多少时间.构造直角三角形，可过点A引CB的垂线，垂足是点E，得到两个直角三角形，利用边角关系可求出AB的长度.

解：过点A引CB的垂线，垂足是点E，又∠ACE=45°，∠EAB=60°.

在Rt△ACE中，∵sin∠ACE=，即sin45°=

∴AE=AC.sin45°=•30•=30

又∵CE=AE

∴CE=AE=30

在Rt△AEB中，∵cos∠BAE=

∴AB===60

又∵tan∠EAB=

∴EB=AE•tan∠EAB=30•tan60°=30

∴CB=CE+EB=30+30

从而，乙船所用时间：==4小时

甲船从C处追赶上乙船用时间是：4-2=2小时

甲船追赶乙船的速度是：CB=(30+30)=(15+15)千米/小时

三、作梯形的高，构造直角三角形模型

在梯形ABCD中过点A，D分别作梯形的高AE，DF可构造出两个三角形，利用坡度与正切函数的关系解决相应问题.

例6梯形ABCD是一堤坝的横截面示意图，坡角∠C=60°，AB的坡度=，坝的上底宽AD=10m，斜坡CD长为8m，求其截面面积.

分析：要求梯形截面面积需要求出下底BC与梯形的高，所以过A，D作梯形的高AE，DF，构造两个直角三角形：Rt△AEB和Rt△DFC.放在这两个三角形中解决问题。

解：过点A，D作AE⊥BC，DF⊥BC垂足分别为点E，F，可得EF=AD=10.

在Rt△DFC中，∵sin∠DCF=

∴DF=DC•sin∠DCF=8•sin60°=4

又∵∠CDF=30°

∴FC=DC=4

Rt△ABE中，∵i==，又AE=DF=4

∴BE=2AE=2•4=8

∴S梯形ABCD=•DF

=•4=(48+48)

所以，该堤坝的截面面积为(48+48)m.

显然，在解答直角三角形应用题时，构造适当的数学模型能提高同学们分析问题、解决问题的能力，大大简化运算，广大教师在复习迎考中应注意到这一点.

现在是不是觉得奥数很简单啊，希望这篇初中奥数直角三角形应用题专题讲解可以帮助到你。

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