奥数数论基础约数与倍数

编辑:sx_yangk

2014-05-09

奥数数论基础约数与倍数

(1)公约数和最大公约数

几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。

例如:4是12和16的最大公约数,可记做:(12 ,16)=4

(2)公倍数和最小公倍数

几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。

例如:36是12和18的最小公倍数,记作[12,18]=36。

(3)最大公约数和最小公倍数的关系

如果用a和b表示两个自然数

1、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是:

(a,b)×[a,b]=a×b。

(多用于求最小公倍数)

2、(a,b) ≤ a ,b ≤ [a,b]

3、[a,b]是(a,b)的倍数,(a,b)是[a,b]的约数

4、(a,b)是a+b 和a-b 的约数,也是(a,b)+[a,b]和(a,b)-[a,b]的约数

(4)求最大公约数的方法很多,主要推荐:短除法、分解质因数法、辗转相除法。

例如:1、(短除法)用一个数去除30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?

解:∵

(30,60,75)=5×3=15

这个数最大是15。

2、(分解质因数法)求1001和308的最大公约数是多少?

解:1001=7×11×13(这个质分解常用到)  ,  308=7×11×4

所以最大公约数是7×11=77

在这种方法中,先将数进行质分解,而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。

3、(辗转相除法)用辗转相除法求4811和1981的最大公约数。

解:∵4811=2×1981+849,

1981=2×849+283,

849=3×283,

∴(4811,1981)=283。

补充说明:如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任意两个数的最大公约数,再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果。

(5)约数个数公式

一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加1的连乘的积。

例如:求240的约数的个数。

解:∵240=24×31×51,

∴240的约数的个数是

(4+1)×(1+1)×(1+1)=20,

∴240有20个约数。

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标签:数论

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