奥数的学习并没有我们想象的那么难，只要用心我们还是可以把奥数学习好的。我们一起来看一下这篇浅谈初中奥数二次函数解析式三种形式吧。

函数是数学中最重要的概念之一，是中学数学的核心内容，函数思想是最重要、最基本的数学思想，它具有其他数学思想所不及的作用，它是从大量的实际问题中抽象出来的。在初中阶段，讲述了函数的一些最基本、最初步的知识，但是其中蕴含的数学思想和方法，对学生观察问题，研究问题和解决问题都是十分有益的。这里，主要探讨的是针对于初中阶段有关二次函数解析式的求法。

一、利用一般形式y=ax?+bx+c (a≠0)

利用这种方法的，一般题目给出的条件是已知二次函数图象上的三点，或者是已知二次函数的三对函数对应值，或者已知抛物线与x轴交点的横坐标及与y轴交点的纵坐标。

例1：已知一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个函数的解析式。

分析：二次函数的一般形式是y=ax?+bx+c，问题是a，b，c由已知三个条件，可列出三个方程，进而求出a，b，c。

解：设所求的二次函数为y=ax?+bx+c，由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得

a-b+c=10

a+b+c=4

4a+2b+c=7

解这个方程组得a=2，b=-3，c=5。

因此，所求二次函数是y=2x?-3x+5。

例2：一个二次函数，当自变量x=0时，函数值y=-1，当x=-2与?时，y=0，求这个二次函数的解析式。

分析：这道题已知的是三对函数对应值，实际上也相当于已知二次函数过(0，-1)，(-2，0)，(?，0)三点，求函数的解析式，从而又转化到了和例1类似的题目，用求例1的方法即可求得。

解：设所求的二次函数为y=ax?+bx+c，由已知，得

c=-1

4a-2b+c=0

?a+?b+c=0

解这个方程组得a=1，b=3/2，c=-1。

因此，所求的二次函数解析式是y=x?+x-1。

例3：已知一个二次函数的图象与x轴的的两个交点的横坐标是?，，与y轴交点的纵坐标是-5，求二次函数的解析式。

分析：知道了函数与x轴相交，意味着交点的纵坐标是0，与y轴相交，交点的横坐标是0，所以这一题实际上也相当于图象经过(-1/2，0)，(3/2，0)，(0，-5)三点，从而也是转化到了和例1一样的题目了。

解：设所求的二次函数解析式为y=ax?+bx+c，由题意可知二次函数经过(-1/2，0)，(3/2，0)，(0，-5)三点，则有

1/4a-1/2b+c=0

9/4a+3/2b+c=0

c=-5

解这个方程组得a=20/3，b=-20/3，c=-5。

因此，所求的二次函数解析式为y=20/3x?-20/3x-5。

二、利用顶点式y= a(x-h)?+k (a≠0)确定二次函数的解析式。

利用顶点式求二次函数的解析式，一般已知的是二次函数的对称轴x = h，或是顶点(h，k)的位置，或最值来确定二次函数的解析式较简捷。

1、已知顶点坐标为(m，n)，可设y= a(x- m)?+ n，再利用一个独立条件确定a;

例1、已知抛物线顶点坐标为(3，-1)，在y轴上的截距为-4，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为y= a(x-3)?-1，由题意知当x=0时，y=-4，

所以由-4= a(0-3)?-1知，9 a=-3，a=-1/3;

这个二次函数的解析式为y= -1/3(x-3)?-1。

2、已知对称轴方程x = m，可设y= a(x- m)?+ k ，再利用两个独立条件确定a与k;

例2、已知二次函数的对称轴方程x =3，它的图象经过(3，4)，(4，6)，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为y= a(x-3)?+ k，

由题意知a(3-3)?+ k=4，k=4，

而a(4-3)?+ 4=6，a=2

这个二次函数的解析式为y= 2(x-3)?+ 4

3、已知最大值或最小值为n，可设y= a(x+ h)?+ n，再利用两个独立条件确定a与h;

例3、二次函数有最大值5，图象经过(1，4)和(3，4)，求它的解析式。

解：由二次函数图象经过(1，4)和(3，4)知，二次函数的对称轴为x=(1+3)/2，即x=2，所以设这个二次函数的解析式为y= a(x-2)?+5

由题意知a(3-2)?+ 5=4，a=-1，

这个二次函数的解析式为y= -(x-2)?+5

注：二次函数的图象经过(x1，a)和(x2，a)两点，那么它的对称轴为x=(x1+x2)/2

4、在二次函数的图象与x轴只有一个交点可设y= a(x+h)?，再利用两个独立条件确定a与h;

例4、已知二次函数的图象经过(1，9)和(2，4)，且它与x轴只有一个交点，求这个二次函数的解析式。

解：由二次函数的图象与x轴只有一个交点知二次函数的图象与x轴相切，所以设这个二次函数的解析式为y=a(x+h)?，由题意知

a(1+h)?=9

a(2+h)?=4

两式相除，有(1+h)/(2+h)=9/4，即有

(1+h)/(2+h)=±3/2

所以h=-4或h=-8/5

当h=-4时，由a(2+h)?=4知a=1，这时二次函数的解析式为y=(x-4)?

当h=-8/5时，由a(2+h)?=4知a=25，这时二次函数的解析式为

y=25(x-8/5)?所以，二次函数的解析式为

y=(x-4)?或y=25(x-8/5)?

例5已知二次函数的顶点为(1，-2)，图象与x轴的交点距离为4，求解析式。

解：如图设抛物线交x轴的横坐标分别为C，设所求二次函数为y= a(x- b)?+ k，由已知函数图象顶点为(1，-2)，x1， x2间的距离为4，得

y= a(x-1)?-2

y=0

x1- x2=4 解得a=1/2

∴解析式为y=1/2(x-1)?-2

三、利用交点式y= a(x- x 1)(x- x2)(a≠0)，其中x 1， x2是图象与x轴交点的横坐标。

二次函数y=ax?+bx+c (a≠0)与一元二次方程ax?+bx+c=0 (a≠0)有密切的联系，二次函数y=ax?+bx+c的图象抛物线与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax?+bx+c=0 的根。反之，若ax?+bx+c=0有两个不等实根，则抛物线y=ax?+bx+c与x轴有两个交点。所以如果题目给出的是图象与x轴的两个交点，那么我们就可以利用交点式来求函数的解析式。

例1、已知抛物线的对称轴与y轴平行，它与x轴的两个交点是A(3，0)、B(-1，0)，且顶点C到A点的距离是2√5，求此函数的解析式。

解：设抛物线的解析式为y= a(x- x 1)(x- x2)

∵抛物线与x轴的两个交点是A(3，0)、B(-1，0)，

∴x 1=3， x2=-1

∴抛物线的解析式为y= a(x- 3)(x+1)

∵抛物线经过A(3，0)、B(-1，0)两点，对称轴平等于y轴∴抛物线的对称轴是直线x=[3+(-1)]/2即x=1

∵顶点C到A点的距离是2√5

∴C到坐标轴x轴的距离为CD=√CA?-DA?=√(2√5)?-2?=4

∴顶点C坐标为(1，4)或(1，-4)

即抛物线经过点(1，4)或(1，-4)

∴ a(1- 3)(1+1)=4或 a(1- 3)(1+1)=-4

即a=-1或a=1

∴抛物线的解析式为y=-(x- 3)(x+1)或y=(x- 3)(x+1)

即y=-x?+2x+3，或y=x?-2x+3，

例2、已知二次函数的顶点(2，1)，且图象经过P(1，0)，求解析式。

解：设所求的二次函数为y= a(x- x 1)(x- x2)

由已知，函数图象交于x轴于(1，0)，(3，0)，且过点(2，1)得

1= a(2- 1)(2- 3)

解得a=-1

∴解析式为y=-(x- 1)(x- 3)

求二次函数的解析式，应恰当地选用二次函数的解析式的形式，选择得当，解题简捷，选择不当，解题繁琐，解题时，应根据题目的特点，灵活选用二次函数的解析式形式。

现在是不是觉得奥数很简单啊，希望这篇浅谈初中奥数二次函数解析式三种形式可以帮助到你。

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